Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC tại E. Kẻ EH⊥BC (H ∈ BC)
a) Chứng minh ΔABE = ΔHBE
b) Chứng minh BE là trung trực của AH
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho AP = HC. Chứng minh AH // PC
d) Chứng minh ba điểm P, E, H thẳng hàng
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a. Xét Δvuông ABE và ΔvuôngHBE có: gócABE=góc HBE ( BE là đường phân giác của ΔABC) Cạnh BE chung ⇒ΔABE=ΔHBE ( cạnh huyền-góc nhọn) b. Vì ΔABE=ΔHBE ( theo a) ⇒ AB=HB và AE=BE ⇒ BE là trung trực của AH ( tính chất mọi điểm thuộc đường trung trực cách đều 2 đầu mút) c. Xét ΔAPC có: AB/AP=HB/HC vì AB=BH<chứng minh trên>, AP=HC<giả thiết>) ⇒ AH//PC ( Định lý Talet đảo) d. Xét ΔAEP và ΔHEC có AE=HE ( chứng minh trên) góc EAP = góc EHC (=90độ) AP=HC(giả thiết) ⇒ΔAEP=ΔHEC ( c.g.c) ⇒ góc AEP = góc HEC Mà góc HEC+góc HAE=180độ ⇒ góc AEP+góc HAE=180độ ⇒P,E,H thẳng hàng
a, Xét ΔABE và ΔHBE ta có:
BE chung
\(\widehat{ABE}\) = \(\widehat{HBE}\)
=> ΔABE = ΔHBE ( cạnh huyền – góc nhọn)
b, ΔABE = ΔHBE
=> AB = BH
=> B cách đều hai đầu mút của đoạn AH
=> B thuộc đường trung trực AH (1)
ΔABE = ΔHBE
=> AE = EH
=> E cách đều hai đầu mút của đoạn AH
=> E thuộc đường trung trực AH (2)
Từ (1) và (2) => BE là đường trung trực của AH
c, BA = BH
AP = CH
=> BA + AP = BH + CH
=> BP = BC
=> ΔBPC cân tại B
=> \(\widehat{BCP}\) = \(\frac{180 – \widehat{B}}{2}\) (3)
ΔBAH cân tại B
=> \(\widehat{BHA}\) = \(\frac{180 – \widehat{B}}{2}\) (4)
Từ (3) và (4) => \(\widehat{BCP}\) = \(\widehat{BHA}\)
mà hai góc này ở vị trí đồng vị
=> AH // PC
d, Xét ΔPEA và ΔCEH ta có:
AP = CH
AE = EH ( do ΔABE = ΔHBE cm câu a)
=> ΔPEA = ΔCEH ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{AEP}\) = \(\widehat{HEC}\)
mà A, E, C thẳng hàng
=> P, E, H thẳng hàng ( đccm)