Cho tam giác ABC vuông tại B, BC < BA. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của CE. a) Chứng minh AB là tia phân giác của góc CAE b) Vẽ CM vuông góc với AE tại M, CM cắt AB tại H. Vẽ HN vuông góc với CA tại N. Chứng minh tam giác MAN cân và MN song song với CE c) So sánh HC và HM d) Tìm điều kiện của ABC để CMN cân tại N.
Đáp án:
Tự vẽ hình ^^
Giải thích các bước giải:
a) Chứng minh được: Δ ABC = Δ ABE (c.g.c)
Suy ra ∠CAB = ∠EAB
Vậy AB là tia phân giác của ∠ CAE
b) Chứng minh được:
Δ AHM = Δ AHN (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AM = AN. Do đó Δ AMN cân tại A.
Mà AB là phân giác ∠EAC nên AB `⊥` MN .
Khi đó MN // CE (cùng vuông góc với AB)
c) Do Δ AHM = Δ AHN nên HN = HM.
Mặt khác, trong tam giác vuông CNH có HC > HN.
Do đó HC > HM.
d) CMN cân tại N thì ∠NCM = ∠NMC
Mà MN // CE nên ∠NMC = ∠MCE (so le trong)
Suy ra ∠NCM = ∠MCE
Chứng minh được Δ CME = ΔCMA(g.c.g) . Suy ra CE = CA.
Như vậy CA = CE = AE nên Δ ACE là tam giác đều.
=> ∠ BCA = `60^0` .
Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện ∠BCA = 60^0 thì ΔCMN cân tại N.
Chứng minh lại:
Khi Δ ABC có `∠ BCA = 60^0` thì ΔCMN cân tại N.
Chứng minh lại:
Khi ABC có `∠ BCA = 60^0` thì ΔCMN có vừa là đường cao, vừa là phân giác ∠ECA nên
`∠HCN = ∠CMN = 30^0` . Suy ra ΔCMN cân tại N.
Xét tam giác EBA và tam giác CBA, có:
EB=CB (do B là trung điểm của CE)
EBA=CBA(=90)
AB: chung
Do đó tam giác EBA và tam giác CBA (c.g.c)
=> EAB=CAB (hai góc tương ứng)
Mà EAB+CAB=CAE
=> AB là tia phân giác của CAE.
b)Gọi I là điểm giao nhau giữa MN và AB.
Xét tam giác HNA và tam giác HMA, có:
HNA=HMA (=90 độ)
AH: chung
CAB=EAB(cm ở câu a)
Do đó tam giác HNA và tam giác HMA (ch-gn)
=> AN=AM (hai cạnh tương ứng)
=> tam giác MAN cân tại A.
Mặt khác ta lại có: MAI=NAI (do AB là tia phân giác của góc CAE)
=> AI là đường trung trực của tam giác cân MAN.
Ta có: EC vuông góc AB (gt)
MN vuông góc với AB (cmt)
Do đó suy ra MN//CE.
c) Vì tam giác HNC vuông tại N nên HN (cạnh góc vuông ) bé hơn HC (cạnh huyền)
Mà HN=HM (do tam giác HNA=tam giác HMA)
=>HC > HM
d) bó tay.