Cho tam giác ABC vuông tại B, có AB = 5cm, BC = 12cm. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 4cm.
a) Tính độ dài cạnh AC.
b) Chứng minh \(\Delta EAD\) cân.
c) Tia AE cắt DC tại K. Chứng minh: K là trung điểm của đoạn DC.
d) Chứng minh: AD < 4EK.
a) Áp dụng định lí Pytago cho \(\Delta ABC\) vuông tại B, ta có:
\(\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\
A{C^2} = {5^2} + {12^2}\\
AC = 13\left( {cm} \right)
\end{array}\)
b) Xét tam giác \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE\), có:
BA = BD (gt)
BE: cạnh chung
\(\widehat {ABE} = \widehat {DBE}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBE\left( {c – g – c} \right)\)
\( \Rightarrow EA = ED \Rightarrow \Delta AED\) cân tại E
c) Xét \(\Delta ACD\) có CB là đường trung tuyến, \(BE = \frac{1}{3}CD\)
Suy ra E là trọng tâm \(\Delta ACD\)
Suy ra AK là đường trung tuyến \(\Delta ACD \Rightarrow \) K là trung điểm CD
d) Lấy F thuộc tia đối của tia AK sao cho AK = KF. Chứng minh AF = 4EK.
Chứng minh \(\Delta KEC = \Delta FKD\left( {c – g – c} \right)DF//BC\)
Xét \(\Delta ADF\) vuông tại D \( \Rightarrow AD < AF \Rightarrow \) đpcm