Cho tam giác ABC vuông tại B có AB < BC. Đường phân giác của góc ABC cắt đường trung trực của đoạn AC tại D. Kẻ DE 1 AB và DF L BC a) Chứng minh tứ gi

a) Xét tứ giác BEDF ta có:

Góc BED = 90 độ (BE vuông góc với DE)

Góc EBF = 90 độ (tam giác ABC vuông tại)

Góc BFD = 90 độ (DF vuông góc BC)

=> BEDF là hình chữ nhật.

Vì BD là phân giác của góc ABC nên góc DBF = góc EBD = 45 độ

=> Tam giác BDF là tam giác vuông cân tại F.

=> BF = DF

=> BEDF là hình vuông.

b) Ta có: D thuộc đường trung trực của AC

=> DA = DC (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác ADE và tam giác CDF ta có:

Góc DEA = góc DFC = 90 độ.

DA = DC (cmt)

DE = DF (ABCD là hình vuông)

=> Tam giác ADE = tam giác CDF (ch – cgv).

=> EA = FC (hai cạnh tương ứng).

c) Ta có: AB = 6cm, BC = 8cm

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10cm.\\ \Rightarrow AM = MC = 5cm.\end{array}\)

Ta có: Tam giác AED = tam giác CFD (cmt)

=> góc EDA = góc CDF

Lại có: Góc EDA + góc AEF = 90 độ

=> góc EDA + góc FDC = 90 độ

=> Tam giác DAC vuông tại D.

=> DM = AM = MC = 5cm.

=> Tam giác ADM vuông cân tại M

\( \Rightarrow {S_{AMD}} = \frac{1}{2}MD.AM = \frac{1}{2}.5.5 = 12,5\,\,c{m^2}.\)

Ta có: BC = BF + FC = 8cm

AB = BE – AE = 6cm

=> BF – FC = 6cm

=> BF = 7cm và FC = 1cm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ADE}} = \frac{1}{2}DE.AE = \frac{1}{2}.7.1 = 3,5\,\,c{m^2}.\\ \Rightarrow {S_{AEDM}} = {S_{ADE}} + {S_{ADM}} = 3,5 + 12,5 = 16\,\,c{m^2}.\end{array}\)