Cho tam giác ABC vuông tại B. Kẻ phân giác AD của tam giác ABC (D thuộc
cạnh BC). Gọi E là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh:
a) Tam giác BDE cân
b) AD là trung trực của BE
c) BD < CD
d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = EC. Chứng minh E, D, F
thẳng hàng và AD vuông góc với FC
a)ta có
xét ΔABD và ΔAED
có ^BAD=^EAD(gt)
^ABD=^AED=90
AD chung
⇒ ΔABD = ΔAED(gcg)
⇒BD=DE( 2 cạnh tương ứng)
⇒ΔBED cân tại D
b) ΔABD = ΔAED(câu a)
⇒AB=AE( 2 cạnh tương ứng)
mà A,D ∈ đường trung trục của BE
⇒AD là trung trực BE
c)ta có
ΔDEC vuông tại E
⇒DC>DE
⇒DC>BD(do DE=DB-cmt)
d)xét ΔBFD và ΔECD
có BF=EC(gt)
^DBF=^DEC=90
BD=DE(cmt)
⇒ΔBFD =ΔECD (cgc)
⇒^BDF=^EDC(2 góc tương ứng)
mà ^BDE+^EDC=180 (B,D,C thẳng hàng)
⇒^BDE+^BDF=180
⇒F,D,E thẳng hàng
mà AB+BF=AF
AE+EC=AC
⇒AF=AC(AB=AE-cmt;BF=EC=gt)
gọi K ∈AD
xét ΔAFK và ΔACK
có AF=AC(cmt)
AB chung
^FAK=^CAK(gt)
⇒ ΔAFK = ΔACK(cgc)
⇒^AKF=^AKC(2 góc tương ứng )
mà^AKF+^AKC=180
⇒^AKF=^AKC=90
⇒AK⊥FC
⇒AD⊥FC(K∈AD)
Δ