cho tam giác ABC vuông tại B; M thuộc BC. Tìm GTNN của MA^2+MB^2+MC^2

Đáp án:

     M là trọng tâm tam giác ABC

Giải thích các bước giải:

 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\\
 = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\
 = {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\
 = \left( {M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA}  + G{A^2}} \right) + \left( {M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB}  + G{B^2}} \right) + \left( {M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC}  + G{C^2}} \right)\\
 = \left( {3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)\\
 = 3M{G^3} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}
\end{array}\)

Do đó, để T có GTNN thì \(M{G^2}\) có GTNN, do \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) không đổi

Suy ra M trùng với G

Hay M là trọng tâm tam giác ABC thì T nhỏ nhất.