Cho tam giác AMB vuông cân tại M. Tia Ax cắt cạnh MB tại H,vẽ tia By vuông góc với Ax tại N, By cắt tia AM tại S.
a/ Chứng minh SH vuông góc với AB.
b/ Chứng minh SM.SA = SN.SB
c/ Lấy P trên tia Ax sao cho AP = BN. Chứng minh tam giác PMN vuông cân.
d/ Gọi I là trung điểm của PN. Chứng tỏ I chuyển động trên một cung tròn khi tia Ax thay đổi
a) Xét tam giác ABS có AN, BM là các đường cao của tam giác và chúng giao nhau tại H.
SUy ra H là trực tâm của tam giác SAB.
Vậy $SH \perp AB$.
b) Xét tam giác SAN và SBM có
$\widehat{ANS} = \widehat{SMB} = 90^{\circ}$ và $\widehat{BSA}$ chung
Vậy tam giác SAN đồng dạng với tam giác SBM. Do đó
$\dfrac{SA}{SB} = \dfrac{SN}{SM}$
$<-> SA.SM = SB.SN$
c) Do tam giác SAN đồng dạng với tam giác SBM nên $\widehat{SBM} = \widehat{SAN}$
Xét tam giác MNB và MPA có
$BN = PA, \widehat{SBM} = \widehat{SAN}, BM = AM$
Vậy tam giác MNB = tam giác MPA, do đó MP = MN và $\widehat{PMA} = \widehat{BMN}$
Vậy tam giác MPN cân tại M. Lại có
$\widehat{PMA} + \widehat{BMP} = 90^{\circ}$
Do đó
$\widehat{BMN} + \widehat{BMP} =90^{\circ}$
$<-> \widehat{NMP} = 90^{\circ}$
Vậy tam giác MNP vuông cân tại M.