Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a. Vẽ các đường cao BH, CK.
a. Chứng minh rằng BK = CH.
b. Chứng minh KH // BC.
c. Tính độ dài HC và HK.
Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a. Vẽ các đường cao BH, CK.
a. Chứng minh rằng BK = CH.
b. Chứng minh KH // BC.
c. Tính độ dài HC và HK.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Xét Δ BHC và ΔCKB có
∧BHC=∧CKB=90
BC chung
∧C= ∧B vì tam giác ABC cân tại A
⇒ ΔBHC = ΔCKB (CH-GN)
⇒ BK = CH ( đpcm)
b) Ta có
AB = AC ( gt)
BK = CH ( cmt)
Suy ra AB – BK = AC – CH hay AK = AH
⇒ Tam giác AKH cân tại A
Do đó ∧AKH=∧B=$\frac{180-∧A}{2}$
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
⇒ KH║BC
c,
Vẽ đường cao AI ( I ∈ BC) của tam giác ABC cân tại A nên AI cũng là trung tuyến
Suy ra IB = IC = $\frac{BC}{2}$ =$\frac{a}{2}$
Xét ΔAIB và ΔCKB có
∧AIB=∧CKB=90
∧B: chung
⇒ ΔAIB~ΔCKB(g-g)
⇒$\frac{BI}{BK}$ =$\frac{AB}{BC}$
⇔ $\frac{\frac{a}{2}}{BK}$ =$\frac{b}{a}$
⇒ BK=$\frac{a^2}{2b}$
Mà BK=HC
⇒HC=$\frac{a^2}{2b}$
⇒AK=AB-BK=b-$\frac{a^2}{2b}$ =$\frac{2b^2-a^2}{2b}$
Theo Ta-let ta có
Vì KH║BC
⇒ $\frac{AK}{AB}$ =$\frac{HK}{BC}$
⇔ $\frac{\frac{2b^2-a^2}{2b}}{b}$= $\frac{KH}{a}$
⇒ KH=$\frac{a(2b^2-a^2)}{2b^2}$