Cho tam giác MNP cả 3 góc đều nhọn, vẽ đường cao NE và PF.
a, Chứng minh góc MFE = MPN
b, Chứng minh MO vuông góc với EF
Cho tam giác MNP cả 3 góc đều nhọn, vẽ đường cao NE và PF.
a, Chứng minh góc MFE = MPN
b, Chứng minh MO vuông góc với EF
a. Gọi K là trung điểm của MP
Ta có: K là trung điểm của MP, Q là trung điểm của NP
Suy ra: KQ là đường trung bình thuộc cạnh MN của tam giác MNP.
⇒ KQ//MN (1)
Lại có: OK//NE (2) (cùng vuông góc với MP)
Từ (1) và (2) ⇒ ˆMNE=ˆOKQMNE^=OKQ^ (2 góc thuộc 2 cặp cạnh tương ứng song song)
⇔ ˆMNH=ˆOKQMNH^=OKQ^
Chứng minh tương tự: ˆNMH=ˆOQKNMH^=OQK^
Xét ΔMNH và ΔQKO có:
ˆMNE=ˆOKQMNE^=OKQ^
ˆNME=ˆOQKNME^=OQK^
⇒ Hai tam giác đồng dạng
⇒ MHOQ=KQMN=12MHOQ=KQMN=12 (KQ là đường trung bình)
hay MH = 2OQ.
b. Xét tam giác MND vuông tại D có:
sinN=MDMNsinN=MDMN
Xét tam giác MDP vuông tại D có:
sinP=MDMPsinP=MDMP
Khi đó:sinN+sinP=MDMN+MDMP=MD(1MN+1MP)=MD.MN+MPMN.MP=2.NP.MDMN.MPsinN+sinP=MDMN+MDMP=MD(1MN+1MP)=MD.MN+MPMN.MP=2.NP.MDMN.MP(*)
(Theo giả thiết: MN + MP = 2.NP)
Lại có: SMNP=12.MD.NP=12.MN.MP.sinMSMNP=12.MD.NP=12.MN.MP.sinM
Thay vào (*) ta được:
sinN+sinP=2.2SMNP2SMNPsinM=2.sinMsinN+sinP=2.2SMNP2SMNPsinM=2.sinM
(dpcm)