Cho tam giác MNP cả 3 góc đều nhọn, vẽ đường cao NE và PF. a, Chứng minh góc MFE = MPN b, Chứng minh MO vuông góc với EF

a. Gọi K là trung điểm của MP 

Ta có: K là trung điểm của MP, Q là trung điểm của NP

Suy ra: KQ là đường trung bình thuộc cạnh MN của tam giác MNP.

⇒ KQ//MN (1)

Lại có: OK//NE (2) (cùng vuông góc với MP)

Từ (1) và (2) ⇒ ˆMNE=ˆOKQMNE^=OKQ^ (2 góc thuộc 2 cặp cạnh tương ứng song song)

⇔ ˆMNH=ˆOKQMNH^=OKQ^

Chứng minh tương tự: ˆNMH=ˆOQKNMH^=OQK^

Xét ΔMNH và ΔQKO có: 

ˆMNE=ˆOKQMNE^=OKQ^

ˆNME=ˆOQKNME^=OQK^

⇒ Hai tam giác đồng dạng

⇒ MHOQ=KQMN=12MHOQ=KQMN=12 (KQ là đường trung bình)

hay MH = 2OQ.

b. Xét tam giác MND vuông tại D có: 

sinN=MDMNsin⁡N=MDMN

Xét tam giác MDP vuông tại D có: 

sinP=MDMPsin⁡P=MDMP

Khi đó:sinN+sinP=MDMN+MDMP=MD(1MN+1MP)=MD.MN+MPMN.MP=2.NP.MDMN.MPsin⁡N+sin⁡P=MDMN+MDMP=MD(1MN+1MP)=MD.MN+MPMN.MP=2.NP.MDMN.MP(*)

(Theo giả thiết: MN + MP = 2.NP)

Lại có: SMNP=12.MD.NP=12.MN.MP.sinMSMNP=12.MD.NP=12.MN.MP.sin⁡M 

Thay vào (*) ta được: 

sinN+sinP=2.2SMNP2SMNPsinM=2.sinMsin⁡N+sin⁡P=2.2SMNP2SMNPsin⁡M=2.sin⁡M

(dpcm)