Cho tam giác MNP cân tại M. Trên cạnh MN lấy điểm E, trên cạnh MP lấy điểm F sao cho ME=MF. Gọi S là giao điểm của NF và PE. Chứng minh
a, Tam giác MNF= tam giác MPE
b, Tam giác NSE= tam giác PSE
c, EF // NP
d, Lấy K là trung điểm của NP. Chứng minh ba điểm M, S, K thẳng hàng
a) Xét ΔMNF,ΔMPE có :
MN=MP (ΔMNP cân tại M)
Mˆ:Chung
ME=MF(gt)
=> ΔMNF=ΔMPE(c.g.c)
b) Ta có : {MN=MP(ΔMNP cân tại M))ME=MF(gt)
Lại có : {E∈MNF∈MP(gt)⇒{MN=ME+NEMP=MF+FP
Nên : MN−ME=MP−MF
⇔NE=PF
Xét ΔNSE,ΔPSF có :
ESNˆ=FSPˆ (đối đỉnh)
NE=FP (cmt)
SNEˆ=SPFˆ (suy ra từ ΔMNF=ΔMPE)
=> ΔNSE=ΔPSF(g.c.g)
c) Xét ΔMEF có :
ME=MF(gt)
=> ΔMEF cân tại M
Ta có : MEFˆ=MFEˆ=180O−Mˆ2(1)
Xét ΔMNP cân tại M có :
MNPˆ=MPNˆ=180o−Mˆ2(2)
Từ (1) và (2) => MEFˆ=MNPˆ(=180O−Mˆ2)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> EF//NP(đpcm)
d) Xét ΔMKN,ΔMKP có :
MN=MP (ΔMNP cân tại M)
MK : Chung
NK=PK (K là trung điểm của NP )
=> ΔMKN=ΔMKP(c.c.c)
=> NMKˆ=PMKˆ (2 góc tương ứng)
=> MK là tia phân giác của NMPˆ (3)
Xét ΔMSN,ΔMSP có :
MN=MP (ΔMNP cân tại M)
MNSˆ=MPSˆ ( do ΔMNF=ΔMPE)
MS:Chung
=> ΔMSN=ΔMSP(c.g.c)
=> NMSˆ=PMSˆ (2 góc tương ứng)
=> MS là tia phân giác của NMPˆ (4)
Từ (3) và (4) => M , S, K thẳng hàng
=> đpcm
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\Delta MNF$ và $\Delta MPE$ có
MN=MP(gt)
A:góc chung
MF=ME(gt)
=>$\Delta MNF$ = $\Delta MPE$(c g c)
=>MNF=MPE(cặp góc tương ứng)
=>MNF+A=MPE+A<=>PFN=NEP
b) $\Delta NSE$ và $\Delta PSF$ có
NE=FP
ENS=FPS(chứng minh trên)
NES=PFS(chứng minh trên)
=> $\Delta NSE$ = $\Delta PSF$(g c g)
=>SE=SF;NS=PS(cặp cạnh tương ứng)
=>$\frac{SE}{SP} =\frac {SF}{SN}$
=>EF//NP(định lí Talet đảo)
d) $\Delta NSM$ và $\Delta PSM$ có
MN=MP(gt)
NS=PS(chứng minh trên)
MS cạnh chung
=> $\Delta NSM$ = $\Delta PSM$( c c c)
=>NMS=PMS(cặp góc tương ứng)
=> MS là phân giác góc NMP (1)
tam giác MNP cân tại M có MK là đường trung tuyến nến MK cũng là đường phân giác (2)
Từ (1) (2) => M S K thẳng hàng