Cho Tam giác MNP vuông tại P,đường cao PH.Gọi A và B lần lượt là hình chiếu của H trên PM và PN.
A)tứ giác AHBP là hình gì ? vì sao?
B)Gọi C là điểm đối xứng với H qua A;D là điểm đối xứng với H qua B.Chứng minh tứ giác ABPC là hình bình hành và AB=DP
C)Gọi I là trung điểm MN.Chứng minh IP vuông góc với AB
a/ Xét tứ guacs `AHBP` có
`hat{HAP}=hat{MPN}=hat{HBP}=90^o`
`=>AHBP` là hcn
b/ Có
`AHBP` là hcn
`=>AH//BP;AH=BP`
Mà `A` là trung điểm `CH` (do `C` đx `H` qua `A`)
`=>CA//BP;CA=BP`
`=>ABPC` là hbh
Có
`AHBP` là hcn
`=>AP//HB;AP=HB`
Mà `B` là trung điểm `HD` (do `D` đx `H` qua `B`)
`=>AP//BD;AP=BD`
`=>APDB` là hbh\
`=>AB=DP`
c/ Gọi `O` là giao điểm `PH` và `AB` ; `E` là giao điểm `PI` và `AB`
Xét t/g `MNP` vuông tại `P` có `PI` là đường trung tuyến
`=>PI=1/2MN=NI`
`=>ΔPIN` cân tại `I`
`=>hat{HCP}=hat{EPC}` (t/c) (1)
Xét hcn `AHBP` có `O` là giao điểm `AB` và `PH`
`=>OP=OB`
`=>ΔOBP` cân tại `O`
`=>hat{EBP}=hat{HPC}` (2)
Từ `(1);(2)`
`=>hat{EPC}+hat{EBP}=hat{HCP}+hat{HPC}`
`=>hat{EPC}+hat{EBP}=90^o`
`=>hat{PEC}=90^o`
`=>IP⊥AB`