Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a. Chứng minh rằng các tứ giác ADHE và BDEC nội tiếp
b. Chứng minh rằng EAH=ECB
c. từ A kẻ tiếp tuyến xy vuông góc với đường tròn
chứng minh xy //DE
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, – Chứng minh BEC = BDC = 90°
-> E và D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông
-> tứ giác BEDC nội tiếp.
– Chứng minh ADH = AED = 90°
-> E và D cùng nhìn AH dưới 1 góc vuông
-> tứ giác ADHE nội tiếp.
b, – Xét tứ giác BEDC nội tiếp có: ECB = EDB
– Xét tứ giác ADHE nội tiếp có: EDH = EAH Hay EAH = EDB
-> EAH = ECB (đpcm)
c, – Xét đường tròn O có tiếp tuyến xy
-> xy ⊥ AO (1)
– Gọi giao điểm của AO và đường tròn O là K.
– Gọi giao điểm của DE và AO là I.
– Nối B với K
– Chứng minh CBK = CAK
– Xét tứ giác BEDC nội tiếp có: EBC = ADE
→ CBK + EBC = CAK + ADE
Mà CBK + EBC = ABK = 90°
→ CAK + ADE = 90° Hay DAI + ADI = 90°
– Xét tam giác AID có: DAI + ADI = 90°
→ AID = 90° →AI⊥ ID
→ AO ⊥ ED (2)
– Từ (1), (2) → xy //DE (đpcm)