Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại E’ và F’ (E’ khác B và F’ khác C). a.Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp. b.Chứng minh EF song song với E’F’. c.Kẻ OI vuông góc với BC (I thuộc BC ). Đường thẳng vuông góc với HI tại H cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh tam giác AMN cân( cho mình hỏi câu c . Cảm ơn bạn nhiều )
Đáp án:
a) Ta có ˆBEC=ˆBFC=900⇒BEC^=BFC^=900⇒ 2 điểm E, F cùng nhìn BC dưới 1 góc 900 nên 2 điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC ⇒⇒ BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC tâm M.
b) Dựng tiếp tuyến Ax.
Ta có: ˆACB=ˆBAxACB^=BAx^(1) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB).
Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒ˆACB+ˆEFB=1800⇒ACB^+EFB^=1800 (Tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp). Mà ˆEFB+ˆAFE=1800EFB^+AFE^=1800 (2 góc kề bù) ⇒ˆACB=ˆAFE⇒ACB^=AFE^ (2).
Từ (1) và (2) ⇒ˆBAx=ˆAFE⇒BAx^=AFE^. Mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒Ax//EF⇒Ax//EF.
Mà OA⊥AxOA⊥Ax (Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A).
Vậy OA⊥EFOA⊥EF.