Cho tam giác nhọn ABC,trực tâm H,trên đoạn HB,HC lấy các điểm B1 và C1 sao cho góc AB1C=góc AC1B=90o. CM: AB1=AC1

0 bình luận về “Cho tam giác nhọn ABC,trực tâm H,trên đoạn HB,HC lấy các điểm B1 và C1 sao cho góc AB1C=góc AC1B=90o. CM: AB1=AC1”

1. Lời giải:

   Gọi $D,\ E$ lần lượt là giao điểm của $BH$ với $AC$ và $CH$ với $AB$

   $\Rightarrow \triangle ABD$ vuông tại $D,\ \triangle ACE$ vuông tại $E$

   Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

   $\begin{cases}\widehat{D}=\widehat{E}= 90^\circ\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

   Do đó: $\triangle ABD\backsim\triangle ACE\ (g.g)$

   $\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

   $\Rightarrow AB.AE = AC.AD\quad (1)$

   Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AC_1B$ vuông tại $C_1$ đường cao $C_1E$ ta được:

   $AC_1^2 = AE.AB\qquad (2)$

   Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AB_1C$ vuông tại $B_1$ đường cao $B_1D$ ta được:

   $AB_1^2 = AD.AC\qquad (3)$

   Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow AB_1^2 = AC_1^2$

   $\Rightarrow AB_1 = AC_1$

   Trả lời