cho tam giác thường abc (ab ac) đường cao ah đường trung tuyến AM,từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E , MF vuông góc với AC tại F.Chứng minh,(a) tam giác AHC đồng dạng với tam giác MFC , (b) ME.AB=MF.AC , (c) ME.AB=MF.AC ,(d) BH.BC=4AE^2
cho tam giác thường abc (ab ac) đường cao ah đường trung tuyến AM,từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E , MF vuông góc với AC tại F.Chứng minh,(a) tam giác AHC đồng dạng với tam giác MFC , (b) ME.AB=MF.AC , (c) ME.AB=MF.AC ,(d) BH.BC=4AE^2
a) Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta MFC\) ta có:
\(\widehat{C_1}\) là góc chung (1)
\(\widehat{AHC}=\widehat{F_1}=90^o\left(gt\right)\left(2\right)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\Delta AHC\sim\Delta MFC\left(G-G\right)\)
b)
Xét \(\Delta EBM\) và \(\Delta ABC\) ta có:
\(\widehat{E_1}=\widehat{BAC}=90^o\left(gt\right)\left(6\right)\)
Từ (3), (6) \(\Rightarrow\Delta EBM\sim\Delta ABC\left(G-G\right)\left(7\right)\)
Ta lại có: EM \(\perp AB\) (gt)
Và \(AC\perp AB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\) EM // AC
\(\Rightarrow\widehat{EMB}=\widehat{C_1}\) (2 góc so le trong) (8)
Mà MB = MC (gt) (9)
Từ (8), (9) \(\Rightarrow\) \(\Delta EMB=\Delta FCM\) (cạnh huyền – góc nhọn) (10)
Từ (10) \(\Rightarrow EB=FM\) (2 cạnh tương ứng) (11)
Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của \(\Delta ABC\) vuông tại A
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\)
\(\Rightarrow AM=MB\)
Nên \(\Delta AMB\) cân tại M
Mà ME là đường cao của \(\Delta AMB\) cân tại M
\(\Rightarrow\) ME cũng là đường trung tuyến
\(\Rightarrow\) EA = EB = \(\dfrac{1}{2}AB\) (12)
Từ (7) \(\Rightarrow\dfrac{EM}{AC}=\dfrac{EB}{AB}\) (13)
Từ (11), (13) \(\Rightarrow\dfrac{EM}{AC}=\dfrac{FM}{AB}\Leftrightarrow EM.AB=FM.AC\)
c) đề sai cậu ơi
d) Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) ta có:
\(\widehat{H_1}=\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\left(14\right)\)
Từ (3), (14) \(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(G-G\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\Leftrightarrow AB^2=BH.BC\) (15)
Từ (12) \(\Rightarrow\) EA = \(\dfrac{1}{2}AB\)
\(\Leftrightarrow\) AB = 2AE
\(\Leftrightarrow\) AB2 = (2AE)2
\(\Leftrightarrow\) AB2 = 4AE2 (16)
Từ (15), (16) \(\Rightarrow BH.BC=4AE^2\)