cho tam giác vuông ABC có BC không đổi , lấy AH là đường cao. Tìm điều kiện của tam giác ABC để AH có độ dài lớn nhất

0 bình luận về “cho tam giác vuông ABC có BC không đổi , lấy AH là đường cao. Tìm điều kiện của tam giác ABC để AH có độ dài lớn nhất”

1. Gọi $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

   $\to MA = MB = MC = \dfrac{1}{2}$

   Do $BC$ không đổi

   nên $MA$ không đổi

   Xét $ΔAHM$ vuông tại $H$ luôn có:

   $AH \leq AM$ (cạnh góc vuông $\leq$ cạnh huyền)

   Do đó $AH_{\max} = AM$

   $\to H \equiv M$

   $\to AM\perp BC$

   $\to AM$ là đường cao

   mà $AM$ là trung tuyến

   $\to ΔABC$ vuông cân tại $A$

   Bình luận

2. Ta có:

   $AH.BC=AB.AC$ (do $ΔABC$ vuông tại $A$)

   $⇒AH=\dfrac{AB.AC}{BC}$ 

   Áp dụng bđt Cauchy có:

   $AH=\dfrac{AB.AC}{BC}≤\dfrac{AB^2+AC^2}{2BC}=\dfrac{BC^2}{2BC}=\dfrac{BC}{2}$ không đổi

   Dấu $=$ xảy ra $⇔H≡$ trung điểm của $BC$

    

   Bình luận