cho tam giác vuông ABC có BC không đổi , lấy AH là đường cao. Tìm điều kiện của tam giác ABC để AH có độ dài lớn nhất
cho tam giác vuông ABC có BC không đổi , lấy AH là đường cao. Tìm điều kiện của tam giác ABC để AH có độ dài lớn nhất
By Eden
By Eden
cho tam giác vuông ABC có BC không đổi , lấy AH là đường cao. Tìm điều kiện của tam giác ABC để AH có độ dài lớn nhất
Gọi $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\to MA = MB = MC = \dfrac{1}{2}$
Do $BC$ không đổi
nên $MA$ không đổi
Xét $ΔAHM$ vuông tại $H$ luôn có:
$AH \leq AM$ (cạnh góc vuông $\leq$ cạnh huyền)
Do đó $AH_{\max} = AM$
$\to H \equiv M$
$\to AM\perp BC$
$\to AM$ là đường cao
mà $AM$ là trung tuyến
$\to ΔABC$ vuông cân tại $A$
Ta có:
$AH.BC=AB.AC$ (do $ΔABC$ vuông tại $A$)
$⇒AH=\dfrac{AB.AC}{BC}$
Áp dụng bđt Cauchy có:
$AH=\dfrac{AB.AC}{BC}≤\dfrac{AB^2+AC^2}{2BC}=\dfrac{BC^2}{2BC}=\dfrac{BC}{2}$ không đổi
Dấu $=$ xảy ra $⇔H≡$ trung điểm của $BC$