cho tích abc=1 và a+b+c>1/a+1/b+1/c CMR (a-1).(b-1).(c-1)>0 01/07/2021 Bởi Sarah cho tích abc=1 và a+b+c>1/a+1/b+1/c CMR (a-1).(b-1).(c-1)>0
`abc = 1` Ta có: `1/a + 1/b + 1/c = (abc)/a + (abc)/b + (abc)/c` `= bc + ac + ab` `<=> a + b + c > bc + ac + ab` Lại có: `(a – 1)(b – 1)(c – 1) > 0` `<=> (ab – a – b + 1)(c – 1) > 0` `<=> abc – ac- bc + c – ab + a + b – 1 > 0``<=> 1 – (ac + bc + ab) + (a + b + c) – 1 > 0` `<=> -(ac + bc + ab) + (a + b + c) > 0` `<=> a + b + c > ac + bc + ab`(luôn đúng) `=> (a – 1)(b – 1)(c – 1) > 0` `=> đpcm` Bình luận
`abc = 1`
Ta có: `1/a + 1/b + 1/c = (abc)/a + (abc)/b + (abc)/c`
`= bc + ac + ab`
`<=> a + b + c > bc + ac + ab`
Lại có:
`(a – 1)(b – 1)(c – 1) > 0`
`<=> (ab – a – b + 1)(c – 1) > 0`
`<=> abc – ac- bc + c – ab + a + b – 1 > 0`
`<=> 1 – (ac + bc + ab) + (a + b + c) – 1 > 0`
`<=> -(ac + bc + ab) + (a + b + c) > 0`
`<=> a + b + c > ac + bc + ab`(luôn đúng)
`=> (a – 1)(b – 1)(c – 1) > 0`
`=> đpcm`