Cho tích phân từ 1 đến e ( 1+x ln x)dx = ae^2 + be + c với a; b ; c là các số hữu tỉ ( giải giúp mình chi tiết nha)

0 bình luận về “Cho tích phân từ 1 đến e ( 1+x ln x)dx = ae^2 + be + c với a; b ; c là các số hữu tỉ ( giải giúp mình chi tiết nha)”

1. Đáp án:

   $\begin{array}{l}
   \int\limits_1^e {\left( {1 + x.\ln x} \right)dx} \\
    = \int\limits_1^e {dx}  + \int\limits_1^e {x\ln xdx} \\
    = \left( x \right)_1^e + {I_1}\left( {{I_1} = \int\limits_1^e {x.\ln xdx} } \right)\\
    = e – 1 + {I_1}\\
   Đặt:\left\{ \begin{array}{l}
   \ln x = u\\
   xdx = dv
   \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \dfrac{1}{x}dx = du\\
   v = \dfrac{{{x^2}}}{2}
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow {I_1} = \left( {u.v} \right) – \int\limits_1^e {v.du} \\
    = \left( {\ln x.\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)_1^e – \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{1}{x}.dx} \\
    = \dfrac{{{e^2}}}{2} – \int\limits_1^e {\dfrac{x}{2}dx} \\
    = \dfrac{{{e^2}}}{2} – \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)_1^e\\
    = \dfrac{{{e^2}}}{2} – \dfrac{{{e^2}}}{4} + \dfrac{1}{4}\\
    = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\\
    \Rightarrow I = e – 1 + \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\\
    = \dfrac{1}{4}.{e^2} + e – \dfrac{3}{4}\\
    \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   a = \dfrac{1}{4}\\
   b = 1\\
   c =  – \dfrac{3}{4}
   \end{array} \right.
   \end{array}$

   Bình luận