Cho tổng:
$S_n=\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+…+\sqrt{1+\dfrac{1}{(1-n)^2}+\dfrac{1}{n^2}}$
$a)$ Tính $S_{2006}$.
$b)$ Chứng minh rằng với mọi $n \ge 3$ thì $S_n$ là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dung HĐT $: a² + b² + c² = (a + b + c)² – 2(ab + ac + bc)$
Với mọi $k∈ N^{*}; a = 1; b = \dfrac{1}{k – 1}; c = – \dfrac{1}{k} $ ta có :
$1 + \dfrac{1}{(k – 1)²} + \dfrac{1}{k²} = (1 + \dfrac{1}{k – 1} – \dfrac{1}{k})²$
$ – 2( \dfrac{1}{k – 1} – \dfrac{1}{k} – \dfrac{1}{k(k – 1)})$
$ = (1 – \dfrac{1}{k – 1} + \dfrac{1}{k})² – 2( \dfrac{1}{k(k – 1)} – \dfrac{1}{k(k – 1)})$
$ = (1 + \dfrac{1}{k – 1} – \dfrac{1}{k})²$
$ ⇒ \sqrt{1 + \dfrac{1}{(k – 1)²} + \dfrac{1}{k²}} = 1 + \dfrac{1}{k – 1} – \dfrac{1}{k}$
Do đó :
$ \sqrt{1 + \dfrac{1}{2²} + \dfrac{1}{3²}} = 1 + \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3}$
$ \sqrt{1 + \dfrac{1}{3²} + \dfrac{1}{4²}} = 1 + \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4}$
$ \sqrt{1 + \dfrac{1}{4²} + \dfrac{1}{5²}} = 1 + \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{5}$
$…………………………$
$ \sqrt{1 + \dfrac{1}{(n – 1)²} + \dfrac{1}{n²}} = 1 + \dfrac{1}{n – 1} – \dfrac{1}{n}$
Cộng tất cả lại :
$ S_{n} = (n – 2) + \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{n} = (n – 2)(1 – \dfrac{1}{2n})$
a) Với $n = 2006 ⇒ S_{2006} = (2006 – 2)(1 – \dfrac{1}{4012}) = \dfrac{501.4013}{1003}$
b) Với mọi $n ≥ 3 ⇒ n – 2 > 0$ Ta có:
$ S_{n} = (n – 2) + \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{n} = (n – 2) + \dfrac{n – 2}{2n} > n – 2 (1)$
$ S_{n} = (n – 2) + \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{n} = (n – 1) – \dfrac{n + 2}{2n} < n – 1 (2)$
Từ $ (1); (2) : n – 2 < S_{n} < n – 1 ⇒ S_{n}$ không nguyên.