Cho tứ diện ABCD có AB= AC= AD, góc BAC = BAD= 60°, gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh AB vuông góc IJ
Cho tứ diện ABCD có AB= AC= AD, góc BAC = BAD= 60°, gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh AB vuông góc IJ
Bạn xem hình
Lời giải:
Xét $\triangle ABC$ có:
$AB = AC\quad (gt)$
$\widehat{BAC}= 60^\circ$
$\Rightarrow \triangle ABC$ đều
Hoàn toàn tương tự ta đươc:
$\triangle ABD$ đều
$\Rightarrow AB = AC = AD = BC = BD$
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ABD$ có:
$\begin{cases}AB:\ \text{cạnh chung}\\AC = AD\quad (cmt)\\BC = BD\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle ABC=\triangle ABD\ (c.c.c)$
$\Rightarrow AJ = BJ$ (hai trung tuyến tương ứng)
$\Rightarrow \triangle ABJ$ cân tại $J$
Lại có: $I$ là trung điểm cạnh đáy $AB$
$\Rightarrow IJ\perp AB$