Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. a) Gọi E, F, G, H tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD biết goc abc=90° tính eof
Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. a) Gọi E, F, G, H tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD biết goc abc=90° tính eof
ta có bài giải như sau
a) Ta có EE là trung điểm của ABAB
FF là trung điểm của BCBC
⇒EF⇒EF là đường trung bình ΔABCΔABC
⇒EF∥=12AC⇒EF∥=12AC (1)
Ta có: GG là trung điểm của CDCD
HH là trung điểm của DADA
⇒HG⇒HG là đường trung bình ΔACDΔACD
⇒HG∥=12AC⇒HG∥=12AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF∥=HGEF∥=HG
⇒⇒ tứ giác EFGHEFGH là hình bình hành (*) (vì có cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)
Ta lại có: EE là trung điểm của ABAB
HH là trung điểm của ADAD
⇒HE⇒HE là đường trung bình ΔABDΔABD
⇒HE∥BD⇒HE∥BD
EF∥ACEF∥AC
Mà BD⊥ACBD⊥AC
⇒HE⊥EF⇒HE⊥EF
⇒ˆHEF=90o⇒HEF^=90o (**)
Từ (*) và (**) suy ra EFGHEFGH là hình chữ nhật.
b) Ta có: EFGHEFGH là hình chữ nhật
⇒FH=EG⇒FH=EG
Ta có: II là trung điểm của EFEF
JJ là trung điểm của CFCF
⇒IJ⇒IJ là đường trung bình ΔEFGΔEFG
⇒IJ∥=12EG⇒IJ∥=12EG (3)
Chứng minh tương tự LKLK là đường trung bình ΔHECΔHEC
⇒LK∥=12EC⇒LK∥=12EC (4)
Từ (3) và (4) suy ra IJ∥=LKIJ∥=LK
⇒IJKL⇒IJKL là hình bình hành
Tương tự ILIL là đường trung bình ΔEFHΔEFH
⇒IL=12FH=12EG=IJ⇒IL=12FH=12EG=IJ
Tứ giác IJKLIJKL là hình bình hành có IL=IJIL=IJ
⇒IJKL⇒IJKL là hình thoi.