Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, AB.
a/ chứng minh S của ABCD nhỏ hơn hoặc bằng 1/2(AM+AN) mũ 2
b/ chứng minh PN nhỏ hơn hoặc bằng 1/2(AD+BC)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, AB.
a/ chứng minh S của ABCD nhỏ hơn hoặc bằng 1/2(AM+AN) mũ 2
b/ chứng minh PN nhỏ hơn hoặc bằng 1/2(AD+BC)
Lời giải:
Vì P là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD
Nên ta có biểu thức vec tơ sau:
$\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} $
$\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} $
Khi đó:
$\eqalign{
& 2\overrightarrow {PN} = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} ) + (\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} ) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {PN} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} ) \cr} $
Bình phương 2 vế ta được:
$\eqalign{
& P{N^2} = {1 \over 4}(A{D^2} + B{C^2} + 2.\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} ) \cr
& = {1 \over 4}(A{D^2} + B{C^2} + 2.AD.BC.c{\rm{os}}\widehat {\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \cr
& \le {1 \over 4}(A{D^2} + B{C^2} + 2.AD.BC) = {1 \over 4}{(AD + BC)^2} \cr} $
Suy ra điều phải chứng minh.