Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minhhai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

0 bình luận về “Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minhhai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm”

1. Xét $\Delta$ vuông $ ADP$ và $\Delta$ vuông $ ABN$ có:

   $AD=AB$

   $DP=BN(=\dfrac{1}{2}AB)$

   $\Rightarrow \Delta$ vuông $ ADP=\Delta$ vuông $ ABN$ (2 cạnh góc vuông)

   $\Rightarrow AP=AN\Rightarrow \Delta APN $ cân đỉnh $A$ (1) có:

   $\widehat{PAO}=\widehat{DAC}-\widehat{DAP}$

   $\widehat{NAO}=\widehat{BAC}-\widehat{BAN}$

   Mà $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}$

   $\widehat{DAP}=\widehat{BAN}$ (do $\Delta ADP=\Delta ABN$) cmt

   $\Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{NAO}$ (2)

   Từ (1) và (2) suy ra $AO$ là trung tuyến của $\Delta APN$ (*)

   Do $P$ là trung điểm của $DC$, $N$ là trung điểm của $BC$

   $\Rightarrow PN$ là đường trung bình $\Delta BCD$

   $\Rightarrow \dfrac{CI}{CO}=\dfrac{1}{2}$ ($I=PN\cap CO$)

   $\Rightarrow \dfrac{OI}{CO}=\dfrac{1}{2}$

   $\Rightarrow \dfrac{OI}{AO}=\dfrac{1}{2}$

   $\Rightarrow \dfrac{AO}{AO+OI}=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$ (**)

   Từ (*) và (**) $\Rightarrow O$ là trọng tâm $\Delta ANP$

   Chứng minh tương tự $O$ cũng là trọng tâm $\Delta CMQ$

   Do đó $\Delta ANP$ và $\Delta CMQ$ có cùng trọng tâm $O$ (đpcm).

   Trả lời