Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tai E. Kẻ EF AD. Gọi M là trung điểm của AE. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác ABEF nội tiếp một đường tròn.
b. Tia BD là tia phân giác của góc CBF.
c. Tứ giác BMFC nội tiếp một đường tròn.
Đáp án:a : CACA là phân giác góc BCFˆBCF^ (đpcm
b:BCMFBCMF nội tiếp (đpcm
c:=>tứ giác BMFC nội tiếp đường tròn
Giải thích các bước giải:
a) Mặc dù không yêu cầu nhưng mình cứ làm luôn nhé.
Vì ADAD là đường kính nên ACDˆ=900ACD^=900
EF⊥AD⇒EFDˆ=900EF⊥AD⇒EFD^=900
Có ACDˆ+EFDˆ=900+900=1800⇒ECDFACD^+EFD^=900+900=1800⇒ECDF nội tiếp.
Do đó ACFˆ=EDAˆ=12cung AB=BCAˆACF^=EDA^=12cung AB=BCA^
Suy ra CACA là phân giác góc BCFˆBCF^ (đpcm)
b)
Từ kết quả đã cm ở a) suy ra BCFˆ=BCAˆ+ACFˆ=2BCAˆ(1)BCF^=BCA^+ACF^=2BCA^(1)
Xét tam giác EFDEFD vuông tại FF có MM là trung điểm cạnh huyền nên MF=12ED=MD⇒△MFDMF=12ED=MD⇒△MFD cân tại MM
⇒MFDˆ=MDFˆ⇒MFD^=MDF^
Từ đó suy ra
BMFˆ=EMFˆ=MFDˆ+MDFˆ=2MDFˆ=2BDAˆ(2)BMF^=EMF^=MFD^+MDF^=2MDF^=2BDA^(2)
Từ (1); (2) mà BDAˆ=BCAˆBDA^=BCA^ (cùng chắn cung AB) nên BCFˆ=BMFˆBCF^=BMF^ . Do đó BCMFBCMF nội tiếp (đpcm)
c)Xét tứ giác CEFD có:
góc DCA=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
và góc EFD=90 độ (EF vuông góc AD tại F)
=> góc DCA+góc EFD=180 độ
=> tứ giác CEFD nội tiếp dường tròn đường kính ED)
Ta có tam giác ABE vuông tại B có dường trung tuyến BM (M là trung diểm của AE)
=>BM=1/2. AE= AM=ME =>tam giác ABM cân tại M => góc ABM= góc BAM
mà góc ABM +góc MBF+góc FBE=90 độ
và góc FBE=góc CAD (cmt)
=>góc MBF+ góc CAD+ góc BAM =90 độ
mà góc ADB+ góc CAD+góc BAM =90 độ(góc BAD=góc BAM+goc1CAD)
=>góc MBF=góc ADB
mà góc ADB = góc FCM ( góc nội tiếp cùng chắn cung EF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD)
=>góc MBF= góc FCM (=góc ADB)
=>tứ giác BMFC nội tiếp đường tròn