Cho vecto a, vecto b, vecto c là các vecto tuỳ ý; k là số thực tuỳ ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ? Giai thích cho rõ vì sao đúng ?
a) (vecto a.vecto b).vecto c = vecto a.(vecto b.vecto c)
b) (k.vecto a).vecto b = vecto a.(k.vecto b)
c) (vecto a – vecto b)(vecto a + vecto b) = (vecto a^2 – vecto b^2)
a) Điều này là ko đúng.
Thật vậy, chọn $\vec{a} = (0,1), \vec{b} = (1,1), \vec{c} = (2, 2)$. Khi đó
$(\vec{a} . \vec{b}) . \vec{c} = (2,2)$
$\vec{a} . (\vec{b} . \vec{c}) = (0, 1).4 = (0, 4)$
b) Đặt $\vec{a} = (x,y), \vec{b} = (u,v)$. Khi đó
$(k.\vec{a}) . \vec{b} = (kx, ky).(u,v) = (kxu, kyv)$.
và
$\vec{a} . (k . \vec{b}) = (x,y) . (ku, kv) = (kxu, kyv)$.
Vậy điều này đúng.
c) Ta có
$VT = (\vec{a} – \vec{b})(\vec{a} + \vec{b})$
$= \vec{a}^2 – \vec{b}^2 – \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{a}$
$= \vec{a}^2 – \vec{b}^2$ (do tích vô hướng có tính giao hoán).