Cho x,y > 0 Chứng minh rằng $x^4 + y^4 + 1/(8xy) ≥ 5/8$ 06/11/2021 Bởi Valerie Cho x,y > 0 Chứng minh rằng $x^4 + y^4 + 1/(8xy) ≥ 5/8$
Đáp án: Giải thích các bước giải: Hồi nãy mình có ghi là đề sai hoặc đề thiếu. Đó là đúng 100%. Tại vì có thể kiểm tra bằng máy tính với $x=0,6$ và $y=0,6$ Mình xin bổ sung thêm đề là $x+y\le 1$ $\bullet \,\,\,\,\,{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+\frac{1}{8xy}\ge \frac{5}{8}$ $\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{xy}\ge 5$ Ta sẽ áp dụng 2 bất đẳng thức Cô – si để giải bài toán: $\begin{cases}a^2+b^2\ge 2ab\\ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\end{cases}$ $\bullet \,\,\,\,\,xy\le \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}$ $\to \frac{1}{xy}\le \frac{4}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}$ $\to \frac{1}{xy}\le 4$ ( Vì $x+y\le 1$ ) $\to \frac{1}{2xy}\le 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ $\bullet \,\,\,\,\,{{x}^{4}}+{{y}^{4}}\ge 2{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ $\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ $\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}$ $\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ $\bullet \,\,\,\,\,$Áp dụng Cô – si cho 3 số, ta sẽ được: $\,\,\,\,\,\,16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 3.\,\,\,\sqrt[3]{16{{x}^{2}}{{y}^{2}}.\frac{1}{4xy}.\frac{1}{4xy}}$ $\to 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 3\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$ $\bullet \,\,\,\,\,$Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, ta được kết quả: $\,\,\,\,\,\,8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}\ge 3\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$ $\bullet \,\,\,\,\,$Lấy $\left( 1 \right)+\left( 4 \right)$, cộng vế theo vế, ta được kết quả: $\,\,\,\,\,\,8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge 3+2$ $\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{xy}\ge 5$ $\to {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+\frac{1}{8xy}\ge \frac{5}{8}$ $\bullet \,\,\,\,\,$Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases}x^4=y^4\\16x^2y^2=\frac{1}{4xy}\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Hồi nãy mình có ghi là đề sai hoặc đề thiếu. Đó là đúng 100%. Tại vì có thể kiểm tra bằng máy tính với $x=0,6$ và $y=0,6$
Mình xin bổ sung thêm đề là $x+y\le 1$
$\bullet \,\,\,\,\,{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+\frac{1}{8xy}\ge \frac{5}{8}$
$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{xy}\ge 5$
Ta sẽ áp dụng 2 bất đẳng thức Cô – si để giải bài toán:
$\begin{cases}a^2+b^2\ge 2ab\\ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\end{cases}$
$\bullet \,\,\,\,\,xy\le \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}$
$\to \frac{1}{xy}\le \frac{4}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}$
$\to \frac{1}{xy}\le 4$ ( Vì $x+y\le 1$ )
$\to \frac{1}{2xy}\le 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
$\bullet \,\,\,\,\,{{x}^{4}}+{{y}^{4}}\ge 2{{x}^{2}}{{y}^{2}}$
$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}$
$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}$
$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
$\bullet \,\,\,\,\,$Áp dụng Cô – si cho 3 số, ta sẽ được:
$\,\,\,\,\,\,16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 3.\,\,\,\sqrt[3]{16{{x}^{2}}{{y}^{2}}.\frac{1}{4xy}.\frac{1}{4xy}}$
$\to 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 3\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$
$\bullet \,\,\,\,\,$Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, ta được kết quả:
$\,\,\,\,\,\,8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}\ge 3\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$
$\bullet \,\,\,\,\,$Lấy $\left( 1 \right)+\left( 4 \right)$, cộng vế theo vế, ta được kết quả:
$\,\,\,\,\,\,8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge 3+2$
$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{xy}\ge 5$
$\to {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+\frac{1}{8xy}\ge \frac{5}{8}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi
$\begin{cases}x^4=y^4\\16x^2y^2=\frac{1}{4xy}\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$