Toán Cho `x,y>0` Chứng minh: `(x/y)^2 + (y/x)^2+4 >=3(x/y+y/x)` 12/07/2021 By Clara Cho `x,y>0` Chứng minh: `(x/y)^2 + (y/x)^2+4 >=3(x/y+y/x)`
Đáp án: Giải thích các bước giải: `(x/y)^2 + (y/x)^2+4 >=3(x/y+y/x)` `<=>[(x/y)^2+(y/x)^2+2]+2>=3(x/y+y/x)` `<=>(x/y+y/x)^2+2>=3(x/y+y/x)` `<=>(x/y+y/x)^2+2-3(x/y+y/x)>=0` `<=>(x/y+y/x)^2-(x/y+y/x)-[2(x/y+y/x)-2]>=0` `<=>(x/y+y/x)(x/y+y/x-1)-2(x/y+y/x-1)>=0` `<=>(x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0` Lại có `x,y>0`,theo Co-si `x/y+y/x>=2\sqrt{x/y.y/x}=2 ` `=>x/y+y/x>=2>=1` `=>(x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0` Luôn đúng Dấu `=` xảy ra `<=>x=y` Trả lời
Chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương: `(x/y)^2+(y/x)^2+4>=3(x/y+y/x)` (*) `<=> [(x/y)^2+2. x/y. y/x+(y/x)^2]+2>=3(x/y+y/x)` `<=> (x/y+y/x)^2-3(x/y+y/x)+2>=0` `<=> (x/y+y/x)^2-2(x/y+y/x)-(x/y+y/x)+2>=0` `<=> (x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0` `<=> (x^2+y^2-2xy)/(xy). (x^2+y^2-xy)/(xy)>=0` `<=> ((x-y)^2.(x^2-xy+y^2))/(xy)>=0` (1) Do `x^2-xy+y^2=(x-1/2y)^2+3/4y^2>0` với `AAx;y` và `x,y>0` nên (1) luôn đúng với `AAx;y>0` Như vậy bđt (*) được c/m. Trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`(x/y)^2 + (y/x)^2+4 >=3(x/y+y/x)`
`<=>[(x/y)^2+(y/x)^2+2]+2>=3(x/y+y/x)`
`<=>(x/y+y/x)^2+2>=3(x/y+y/x)`
`<=>(x/y+y/x)^2+2-3(x/y+y/x)>=0`
`<=>(x/y+y/x)^2-(x/y+y/x)-[2(x/y+y/x)-2]>=0`
`<=>(x/y+y/x)(x/y+y/x-1)-2(x/y+y/x-1)>=0`
`<=>(x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0`
Lại có `x,y>0`,theo Co-si
`x/y+y/x>=2\sqrt{x/y.y/x}=2 `
`=>x/y+y/x>=2>=1`
`=>(x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0` Luôn đúng
Dấu `=` xảy ra `<=>x=y`
Chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương:
`(x/y)^2+(y/x)^2+4>=3(x/y+y/x)` (*)
`<=> [(x/y)^2+2. x/y. y/x+(y/x)^2]+2>=3(x/y+y/x)`
`<=> (x/y+y/x)^2-3(x/y+y/x)+2>=0`
`<=> (x/y+y/x)^2-2(x/y+y/x)-(x/y+y/x)+2>=0`
`<=> (x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0`
`<=> (x^2+y^2-2xy)/(xy). (x^2+y^2-xy)/(xy)>=0`
`<=> ((x-y)^2.(x^2-xy+y^2))/(xy)>=0` (1)
Do `x^2-xy+y^2=(x-1/2y)^2+3/4y^2>0` với `AAx;y` và `x,y>0`
nên (1) luôn đúng với `AAx;y>0`
Như vậy bđt (*) được c/m.