Cho `x,y>0` Chứng minh: `(x/y)^2 + (y/x)^2+4 >=3(x/y+y/x)`

0 bình luận về “Cho `x,y>0` Chứng minh: `(x/y)^2 + (y/x)^2+4 >=3(x/y+y/x)`”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   `(x/y)^2 + (y/x)^2+4 >=3(x/y+y/x)`

   `<=>[(x/y)^2+(y/x)^2+2]+2>=3(x/y+y/x)`

   `<=>(x/y+y/x)^2+2>=3(x/y+y/x)`

   `<=>(x/y+y/x)^2+2-3(x/y+y/x)>=0`

   `<=>(x/y+y/x)^2-(x/y+y/x)-[2(x/y+y/x)-2]>=0`

   `<=>(x/y+y/x)(x/y+y/x-1)-2(x/y+y/x-1)>=0`

   `<=>(x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0`

   Lại có `x,y>0`,theo Co-si

   `x/y+y/x>=2\sqrt{x/y.y/x}=2 `

   `=>x/y+y/x>=2>=1`

   `=>(x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0` Luôn đúng

   Dấu `=` xảy ra `<=>x=y`

   Bình luận

2. Chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương:

   `(x/y)^2+(y/x)^2+4>=3(x/y+y/x)` (*)

   `<=> [(x/y)^2+2. x/y. y/x+(y/x)^2]+2>=3(x/y+y/x)`

   `<=> (x/y+y/x)^2-3(x/y+y/x)+2>=0`

   `<=> (x/y+y/x)^2-2(x/y+y/x)-(x/y+y/x)+2>=0`

   `<=> (x/y+y/x-2)(x/y+y/x-1)>=0`

   `<=> (x^2+y^2-2xy)/(xy). (x^2+y^2-xy)/(xy)>=0`

   `<=> ((x-y)^2.(x^2-xy+y^2))/(xy)>=0` (1)

   Do `x^2-xy+y^2=(x-1/2y)^2+3/4y^2>0` với `AAx;y` và `x,y>0`

   nên (1) luôn đúng với `AAx;y>0`

   Như vậy bđt (*) được c/m.

   Bình luận