cho `x,y>0` cmr `1/(1+x^2)+1/(1+y^2) ≥2/(1+xy)`

Sửa điều kiện: $x;\ y\geqslant 1$

Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.

$\dfrac1{1+x^2}+\dfrac1{1+y^2}\geqslant \dfrac2{1+xy}$

$⇔\dfrac1{1+x^2}+\dfrac1{1+y^2}-\dfrac2{1+xy}\geqslant 0$

$⇔\bigg(\dfrac1{1+x^2}-\dfrac1{1+xy}\bigg)+\bigg(\dfrac1{1+y^2}-\dfrac1{1+xy}\bigg) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow \bigg[\dfrac{1+xy}{(1+x^2)(1+xy)}-\dfrac{1+x^2}{(1+x^2)(1+xy)}\bigg]+\bigg[\dfrac{1+xy}{(1+y^2)(1+xy)}-\dfrac{1+y^2}{(1+y^2)(1+xy)}\bigg] \geqslant 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-x^2+xy}{(1+x^2)(1+xy)}+\dfrac{-y^2+xy}{(1+y^2)(1+xy)} \geqslant 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-x(x-y)}{(1+x^2)(1+xy)}+\dfrac{y(x-y)}{(1+y^2)(1+xy)}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-x(x-y)(1+y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}+\dfrac{y(x-y)(1+x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)(-x-xy^2+y+x^2y)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\geqslant 0$ (luôn đúng với $x;\ y \geqslant 1$)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}xy=1\\x=y\end{array}\right.$

Vậy BĐT được chứng minh.