Cho` x,y > 0` thõa mãn `x^2 + y^2 <= x + y`. Tìm max P = `x + 3y` 12/11/2021 Bởi Sarah Cho` x,y > 0` thõa mãn `x^2 + y^2 <= x + y`. Tìm max P = `x + 3y`
Đáp án: Ta có `x^2 + y^2 <= x + y` `<=> x^2 + y^2 – x – y ≤ 0` `<=> (x^2 – 2.x . 1/2 + 1/4) + (y^2 – 2.y . 1/2 + 1/4) ≤ 1/4 + 1/4` `<=> (x – 1/2)^2 + (y – 1/2)^2 ≤ 1/2` Ta có `P = x + 3y = (x – 1/2) + 3(y – 1/2) + 2 = 1.(x – 1/2) + 3.(y – 1/2) + 2` `(bu-nhi-a) -> P ≤ \sqrt{(1^2 + 3^2)[(x – 1/2)^2 + (y – 1/2)^2]} + 2 ≤ \sqrt{10 . 1/2} + 2 = \sqrt{5} + 2` Dấu “=” xảy ra `<=> {(x – 1/2)/1 = (y – 1/2)/3` `{(x – 1/2)^2 + (y – 1/2)^2 = 1/2` `<=> {x = 1/2 + 1/(2\sqrt{5})` ` {y = 3/(2\sqrt{5}) + 1/2` Vậy `………………` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Ta có
`x^2 + y^2 <= x + y`
`<=> x^2 + y^2 – x – y ≤ 0`
`<=> (x^2 – 2.x . 1/2 + 1/4) + (y^2 – 2.y . 1/2 + 1/4) ≤ 1/4 + 1/4`
`<=> (x – 1/2)^2 + (y – 1/2)^2 ≤ 1/2`
Ta có
`P = x + 3y = (x – 1/2) + 3(y – 1/2) + 2 = 1.(x – 1/2) + 3.(y – 1/2) + 2`
`(bu-nhi-a) -> P ≤ \sqrt{(1^2 + 3^2)[(x – 1/2)^2 + (y – 1/2)^2]} + 2 ≤ \sqrt{10 . 1/2} + 2 = \sqrt{5} + 2`
Dấu “=” xảy ra
`<=> {(x – 1/2)/1 = (y – 1/2)/3`
`{(x – 1/2)^2 + (y – 1/2)^2 = 1/2`
`<=> {x = 1/2 + 1/(2\sqrt{5})`
` {y = 3/(2\sqrt{5}) + 1/2`
Vậy `………………`
Giải thích các bước giải: