cho x, y > 0 thỏa mãn x + 2y ≥ 5 Tìm gtnn của x^2 + 2y^2 + 1/x + 24/y 25/08/2021 Bởi Elliana cho x, y > 0 thỏa mãn x + 2y ≥ 5 Tìm gtnn của x^2 + 2y^2 + 1/x + 24/y
Đáp án: `min H = 22 <=> x = 1; y = 2` Giải thích các bước giải: Ta có `H = x^2 + 2y^2 + 1/x + 24/y` `= (x^2 – 2x +1)+(2y^2 -8y +8) + (1/x + x -2) + (24/y + 6y – 24)+(x+2y) + 17` `= (x-1)^2 + 2(y-2)^2 +(x-1)^2/x + (6(y-2)^2)/y + (x+2y) + 17 ge 0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 17 = 22` Dấu bằng xảy ra khi `(x-1)^2 = 2(y-2)^2 = (x-1)^2/x = (6(x-2)^2)/y = 0` và `x + 2y = 5` `<=> x = 1; y = 2` Vậy `min H = 22` khi `x = 1; y =2` Bình luận
Đặt $ A = x^2 +2y^2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y}$ $ = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} – 1 -8$ $ = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} – 9$ Áp dụng Cauchy với $ x ;y > 0$ ta có $ x^2 +1 \ge 2x$ $ 2y^2 +8 = 2(y^2+4) \ge 2 .2\sqrt{4y^2} = 2*2y = 8y$ $\to A = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} – 9 \ge 2x +8y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} – 9$ $ = ( x + \dfrac{1}{x}) + ( 6y + \dfrac{24}{y}) + x -2y -9$ Áp dụng Cauchy $ x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \sqrt{x . \dfrac{1}{x}} = 2$ $ 6y + \dfrac{24}{y} \ge 2 \sqrt {6y . \dfrac{24}{y}} = 2. \sqrt{144} = 24$ $\to A \ge 2 + 24 -+(x-2y) – 9 = 2+24 +5 – 9 = 22$ (do $ x +2y \ge 5$ ) Vậy GTNN biểu thức $ =5$ khi $ x = 1 ; y = 2$ P/s : Việc thêm bớt dựa trên dự đoán điểm rơi để chứng minh BĐT, bạn có thể tham khảo Bình luận
Đáp án:
`min H = 22 <=> x = 1; y = 2`
Giải thích các bước giải:
Ta có `H = x^2 + 2y^2 + 1/x + 24/y`
`= (x^2 – 2x +1)+(2y^2 -8y +8) + (1/x + x -2) + (24/y + 6y – 24)+(x+2y) + 17`
`= (x-1)^2 + 2(y-2)^2 +(x-1)^2/x + (6(y-2)^2)/y + (x+2y) + 17 ge 0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 17 = 22`
Dấu bằng xảy ra khi `(x-1)^2 = 2(y-2)^2 = (x-1)^2/x = (6(x-2)^2)/y = 0` và `x + 2y = 5`
`<=> x = 1; y = 2`
Vậy `min H = 22` khi `x = 1; y =2`
Đặt
$ A = x^2 +2y^2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y}$
$ = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} – 1 -8$
$ = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} – 9$
Áp dụng Cauchy với $ x ;y > 0$ ta có
$ x^2 +1 \ge 2x$
$ 2y^2 +8 = 2(y^2+4) \ge 2 .2\sqrt{4y^2} = 2*2y = 8y$
$\to A = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} – 9 \ge 2x +8y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} – 9$
$ = ( x + \dfrac{1}{x}) + ( 6y + \dfrac{24}{y}) + x -2y -9$
Áp dụng Cauchy
$ x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \sqrt{x . \dfrac{1}{x}} = 2$
$ 6y + \dfrac{24}{y} \ge 2 \sqrt {6y . \dfrac{24}{y}} = 2. \sqrt{144} = 24$
$\to A \ge 2 + 24 -+(x-2y) – 9 = 2+24 +5 – 9 = 22$ (do $ x +2y \ge 5$ )
Vậy GTNN biểu thức $ =5$ khi $ x = 1 ; y = 2$
P/s : Việc thêm bớt dựa trên dự đoán điểm rơi để chứng minh BĐT, bạn có thể tham khảo