Cho`x,y > 0` thõa mãn `x^2y + xy^2 = x^2 + y^2 – xy` . Tìm GTLN của P = `1/x^3 + 1/y^3` 03/10/2021 Bởi Elliana Cho`x,y > 0` thõa mãn `x^2y + xy^2 = x^2 + y^2 – xy` . Tìm GTLN của P = `1/x^3 + 1/y^3`
Đặt $\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b$ Có $xy(x+y)=x^2+y^2-xy$ $⇒\dfrac{xy(x+y)}{(xy)^2}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{(xy)^2}$ Hay $\dfrac{(x+y)}{xy}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}$ Hay $a+b=a^2+b^2-ab$ Ta có: $a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)=(a+b)^2$ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương: $ab≤\dfrac{(a+b)^2}{4}$ Nên $a+b=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab≥(a+b)^2-\dfrac{3(a+b)^2}{4}=\dfrac{(a+b)^2}{4}$ Suy ra $0<a+b≤4$ $⇒a^3+b^3=(a+b)^2≤4^2=16$ hay $P≤16$ Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=2⇔x=y=\dfrac{1}{2}$ Bình luận
Đặt $\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b$
Có $xy(x+y)=x^2+y^2-xy$
$⇒\dfrac{xy(x+y)}{(xy)^2}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{(xy)^2}$
Hay $\dfrac{(x+y)}{xy}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}$
Hay $a+b=a^2+b^2-ab$
Ta có: $a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)=(a+b)^2$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:
$ab≤\dfrac{(a+b)^2}{4}$
Nên $a+b=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab≥(a+b)^2-\dfrac{3(a+b)^2}{4}=\dfrac{(a+b)^2}{4}$
Suy ra $0<a+b≤4$
$⇒a^3+b^3=(a+b)^2≤4^2=16$
hay $P≤16$
Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=2⇔x=y=\dfrac{1}{2}$