Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M= 1/xy + (1/x ²+y²) 12/07/2021 Bởi Faith Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M= 1/xy + (1/x ²+y²)
Đáp án: \[{M_{\min }} = 6 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\] Giải thích các bước giải: Ta có BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) CM: \(\begin{array}{l}{\left( {x – y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\\ \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\,\,\,\,\,\,,\forall x,y > 0\end{array}\) Ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Rightarrow xy \le \frac{1}{4}\) \(\begin{array}{l}M = \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}\\ = \frac{1}{{2xy}} + \frac{1}{{2xy}} + \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}\\ \ge \frac{1}{{2.\frac{1}{4}}} + \frac{4}{{2xy + {x^2} + {y^2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} + \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 2 + 4 = 6\end{array}\) Vậy \({M_{\min }} = 6 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\) Bình luận
Ta có BĐT 1x+1y≥4x+y1x+1y≥4x+y CM: (x−y)2≥0⇔x2−2xy+y2≥0⇔x2+2xy+y2≥4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x+yxy≥4x+y⇔1x+1y≥4x+y,∀x,y>0(x−y)2≥0⇔x2−2xy+y2≥0⇔x2+2xy+y2≥4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x+yxy≥4x+y⇔1x+1y≥4x+y,∀x,y>0 Ta có: (x+y)2≥4xy⇒xy≤14(x+y)2≥4xy⇒xy≤14 M=1xy+1x2+y2=12xy+12xy+1x2+y2≥12.14+42xy+x2+y2=112+4(x+y)2=2+4=6M=1xy+1×2+y2=12xy+12xy+1×2+y2≥12.14+42xy+x2+y2=112+4(x+y)2=2+4=6 Vậy Mmin=6⇔x=y=12Mmin=6⇔x=y=12 học tốt Bình luận
Đáp án:
\[{M_{\min }} = 6 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
CM:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x – y} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2xy + {y^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\\
\Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\\
\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\,\,\,\,\,\,,\forall x,y > 0
\end{array}\)
Ta có:
\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Rightarrow xy \le \frac{1}{4}\)
\(\begin{array}{l}
M = \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}\\
= \frac{1}{{2xy}} + \frac{1}{{2xy}} + \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}\\
\ge \frac{1}{{2.\frac{1}{4}}} + \frac{4}{{2xy + {x^2} + {y^2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} + \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 2 + 4 = 6
\end{array}\)
Vậy \({M_{\min }} = 6 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Ta có BĐT 1x+1y≥4x+y1x+1y≥4x+y
CM:
(x−y)2≥0⇔x2−2xy+y2≥0⇔x2+2xy+y2≥4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x+yxy≥4x+y⇔1x+1y≥4x+y,∀x,y>0(x−y)2≥0⇔x2−2xy+y2≥0⇔x2+2xy+y2≥4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x+yxy≥4x+y⇔1x+1y≥4x+y,∀x,y>0
Ta có:
(x+y)2≥4xy⇒xy≤14(x+y)2≥4xy⇒xy≤14
M=1xy+1x2+y2=12xy+12xy+1x2+y2≥12.14+42xy+x2+y2=112+4(x+y)2=2+4=6M=1xy+1×2+y2=12xy+12xy+1×2+y2≥12.14+42xy+x2+y2=112+4(x+y)2=2+4=6
Vậy Mmin=6⇔x=y=12Mmin=6⇔x=y=12
học tốt