Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1.Tìm GTNN 2$x^{2}$ – $y^{2}$ + x + $\frac{1}{x}$ + 1 01/10/2021 Bởi Serenity Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1.Tìm GTNN 2$x^{2}$ – $y^{2}$ + x + $\frac{1}{x}$ + 1
Đáp án: Giải thích các bước giải: $x, y > 0; x + y = 1 ⇒ y = 1 – x $ $ A = 2x² – y² + x + \frac{1}{x} + 1 = 2x² – (1 – x)² + x + \frac{1}{x} + 1 = x² + 3x + \frac{1}{x}$$ ⇒ 4A – 15 = 4x² + 12x + \frac{4}{x} – 15 = \frac{4x³ + 12x² – 15x + 4}{x} = \frac{x(4x² – 4x + 1) + 4(4x² – 4x + 1)}{x} = \frac{(x + 2)(2x – 1)²}{x} ≥ 0$ $ ⇒ 4A ≥ 15 ⇒ A ≥ \frac{15}{4}$$ ⇒ GTNN$ của $A = \frac{15}{4} ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2}; y = \frac{1}{2}$ Bình luận
Đáp án: $2x^2-y^2+x+\dfrac1x+1\ge \dfrac{15}{4}$ Giải thích các bước giải: Ta có : $A=2x^2-y^2+x+\dfrac1x+1$ $\to A=2x^2-(1-x)^2+x+\dfrac1x+1$ vì $x+y=1\to y=1-x$ $\to A=x^2+3x+\dfrac1x$ $\to A=(x^2-x)+(4x+\dfrac1x)$ $\to A=(x^2-2x\cdot \dfrac12+\dfrac14-\dfrac14)+(4x+\dfrac1x)$ $\to A=(x- \dfrac12)^2-\dfrac14+(4x+\dfrac1x)$ $\to A\ge 0-\dfrac14+2\sqrt{4x\cdot\dfrac1x}$ $\to A\ge \dfrac{15}{4}$ Dấu = xảy ra khi $x=\dfrac12$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$x, y > 0; x + y = 1 ⇒ y = 1 – x $
$ A = 2x² – y² + x + \frac{1}{x} + 1 = 2x² – (1 – x)² + x + \frac{1}{x} + 1 = x² + 3x + \frac{1}{x}$
$ ⇒ 4A – 15 = 4x² + 12x + \frac{4}{x} – 15 = \frac{4x³ + 12x² – 15x + 4}{x} = \frac{x(4x² – 4x + 1) + 4(4x² – 4x + 1)}{x} = \frac{(x + 2)(2x – 1)²}{x} ≥ 0$
$ ⇒ 4A ≥ 15 ⇒ A ≥ \frac{15}{4}$
$ ⇒ GTNN$ của $A = \frac{15}{4} ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2}; y = \frac{1}{2}$
Đáp án: $2x^2-y^2+x+\dfrac1x+1\ge \dfrac{15}{4}$
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$A=2x^2-y^2+x+\dfrac1x+1$
$\to A=2x^2-(1-x)^2+x+\dfrac1x+1$ vì $x+y=1\to y=1-x$
$\to A=x^2+3x+\dfrac1x$
$\to A=(x^2-x)+(4x+\dfrac1x)$
$\to A=(x^2-2x\cdot \dfrac12+\dfrac14-\dfrac14)+(4x+\dfrac1x)$
$\to A=(x- \dfrac12)^2-\dfrac14+(4x+\dfrac1x)$
$\to A\ge 0-\dfrac14+2\sqrt{4x\cdot\dfrac1x}$
$\to A\ge \dfrac{15}{4}$
Dấu = xảy ra khi $x=\dfrac12$