Cho `x,y>0` tm `\sqrt{x}+\sqrt{y} ≥1` Tìm min `P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1` 27/10/2021 Bởi Piper Cho `x,y>0` tm `\sqrt{x}+\sqrt{y} ≥1` Tìm min `P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1`
Đáp án: $GTNN$ $của$ $P$ $là$ $14$ $tại$ $x = 1; y = 0$ Giải thích các bước giải: $P=\frac{2x + 8√x + 17}{√x + 2} + \frac{3y + 6√y + 5}{√y + 1}$ $P=\frac{(2x + 8√x + 8) + 9}{√x + 2} + \frac{(3y + 6√y + 3) + 2}{√y + 1}$ $P= \frac{2(x + 4√x + 4)+9}{√x+2} + \frac{3(y + 2√y + 1) + 2}{√y +1}$ $P = \frac{2(√x + 2)² + 9}{√x + 2} + \frac{3(√y + 1)² + 2}{√y +1}$ $Đặt$ $a = √x + 2 ; b = √y + 1$ $ĐK : a \geq 2 ; b \geq 1$ $thỏa$ $mãn$ $a+b \geq4$$(vì √x +√y \geq1)$ $Khi$ $đó$ $ta$ $có:$ $P=\frac{2a² + 9}{a} + \frac{3b² + 2}{b}$ $P=\frac{2a²}{a} + \frac{9}{a} + \frac{3b²}{b} +\frac{2}{b}$ $P = 2a + \frac{9}{a} + 3b + \frac{2}{b}$ $P = (a + b) + (a + \frac{9}{a}) + (2b + \frac{2}{b})$ $Theo$ $BĐT$ $Cauchy$ $ta$ $có:$ $a + \frac{9}{a} \geq 2√(a.\frac{9}{a}) = 2.3=6$ $2b + \frac{2}{b} \geq 2√(2b.\frac{2}{b}) = 2.2 =4$ $→ P \geq 4 + 6 + 4 = 14$ $Dấu$ $”=”$ $xảy$ $ra$ $⇒$ $\left \{ {a + b = 4} \atop {a = \frac{9}{a} \atop {2b = \frac{2}{b}}}\right.⇒\left \{ {{a = 3} \atop {b = 1}} \right. ⇒\left \{ {{x = 1} \atop {y = 0}} \right.$ $Vậy$ $GTNN$ $của$ $P$ $là$ $14$ $tại$ $x = 1; y = 0$ Bình luận
Đáp án: `min_P=14<=>x=1,y=0` Giải thích các bước giải: `P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1)` `=(2(\sqrt{x}+2)^2+9)/(\sqrt{x}+2)+(3(\sqrt{y}+1)^2+2)/(\sqrt{y}+1)` Đặt `a=\sqrt{x}+2,b=\sqrt{y}+1(a,b>0)` `=>P=(2a^2+9)/a+(3b^2+2)/b` `=2a+9/a+3b+2/b` `=a+b+a+9/a+2b+2/b` `=4+a+9/a+2b+2/b` BĐT AM-GM: `=>a+9/a>=6` `=>2b+2/b>=4` `=>P>=4+6+4=14` Dấu “=” xảy ra khi `a+b=4,a^2=9,b^2=1` `<=>a=3,b=1` `<=>x=1,y=0` Vậy `min_P=14<=>x=1,y=0` Bình luận
Đáp án:
$GTNN$ $của$ $P$ $là$ $14$ $tại$ $x = 1; y = 0$
Giải thích các bước giải:
$P=\frac{2x + 8√x + 17}{√x + 2} + \frac{3y + 6√y + 5}{√y + 1}$
$P=\frac{(2x + 8√x + 8) + 9}{√x + 2} + \frac{(3y + 6√y + 3) + 2}{√y + 1}$
$P= \frac{2(x + 4√x + 4)+9}{√x+2} + \frac{3(y + 2√y + 1) + 2}{√y +1}$
$P = \frac{2(√x + 2)² + 9}{√x + 2} + \frac{3(√y + 1)² + 2}{√y +1}$
$Đặt$ $a = √x + 2 ; b = √y + 1$
$ĐK : a \geq 2 ; b \geq 1$ $thỏa$ $mãn$ $a+b \geq4$$(vì √x +√y \geq1)$
$Khi$ $đó$ $ta$ $có:$
$P=\frac{2a² + 9}{a} + \frac{3b² + 2}{b}$
$P=\frac{2a²}{a} + \frac{9}{a} + \frac{3b²}{b} +\frac{2}{b}$
$P = 2a + \frac{9}{a} + 3b + \frac{2}{b}$
$P = (a + b) + (a + \frac{9}{a}) + (2b + \frac{2}{b})$
$Theo$ $BĐT$ $Cauchy$ $ta$ $có:$
$a + \frac{9}{a} \geq 2√(a.\frac{9}{a}) = 2.3=6$
$2b + \frac{2}{b} \geq 2√(2b.\frac{2}{b}) = 2.2 =4$
$→ P \geq 4 + 6 + 4 = 14$
$Dấu$ $”=”$ $xảy$ $ra$ $⇒$ $\left \{ {a + b = 4} \atop {a = \frac{9}{a} \atop {2b = \frac{2}{b}}}\right.⇒\left \{ {{a = 3} \atop {b = 1}} \right. ⇒\left \{ {{x = 1} \atop {y = 0}} \right.$
$Vậy$ $GTNN$ $của$ $P$ $là$ $14$ $tại$ $x = 1; y = 0$
Đáp án:
`min_P=14<=>x=1,y=0`
Giải thích các bước giải:
`P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1)`
`=(2(\sqrt{x}+2)^2+9)/(\sqrt{x}+2)+(3(\sqrt{y}+1)^2+2)/(\sqrt{y}+1)`
Đặt `a=\sqrt{x}+2,b=\sqrt{y}+1(a,b>0)`
`=>P=(2a^2+9)/a+(3b^2+2)/b`
`=2a+9/a+3b+2/b`
`=a+b+a+9/a+2b+2/b`
`=4+a+9/a+2b+2/b`
BĐT AM-GM:
`=>a+9/a>=6`
`=>2b+2/b>=4`
`=>P>=4+6+4=14`
Dấu “=” xảy ra khi `a+b=4,a^2=9,b^2=1`
`<=>a=3,b=1`
`<=>x=1,y=0`
Vậy `min_P=14<=>x=1,y=0`