Cho `x,y>0` tm `\sqrt{x}+\sqrt{y} ≥1` Tìm min `P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1`

0 bình luận về “Cho `x,y>0` tm `\sqrt{x}+\sqrt{y} ≥1` Tìm min `P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1`”

1. Đáp án:

   $GTNN$ $của$ $P$ $là$ $14$ $tại$ $x = 1; y = 0$

   Giải thích các bước giải:

   $P=\frac{2x + 8√x + 17}{√x + 2} + \frac{3y + 6√y + 5}{√y + 1}$

   $P=\frac{(2x + 8√x + 8) + 9}{√x + 2} + \frac{(3y + 6√y + 3) + 2}{√y + 1}$

   $P= \frac{2(x + 4√x + 4)+9}{√x+2} + \frac{3(y + 2√y + 1) + 2}{√y +1}$

   $P = \frac{2(√x + 2)² + 9}{√x + 2} + \frac{3(√y + 1)² + 2}{√y +1}$

   $Đặt$ $a = √x + 2 ; b = √y + 1$

   $ĐK : a \geq 2 ; b \geq 1$ $thỏa$ $mãn$ $a+b \geq4$$(vì √x +√y \geq1)$

   $Khi$ $đó$ $ta$ $có:$

   $P=\frac{2a² + 9}{a} + \frac{3b² + 2}{b}$

   $P=\frac{2a²}{a} + \frac{9}{a} + \frac{3b²}{b} +\frac{2}{b}$

   $P = 2a + \frac{9}{a} + 3b + \frac{2}{b}$

   $P = (a + b) + (a + \frac{9}{a}) + (2b + \frac{2}{b})$

   $Theo$ $BĐT$ $Cauchy$ $ta$ $có:$

   $a + \frac{9}{a} \geq 2√(a.\frac{9}{a}) = 2.3=6$

   $2b + \frac{2}{b} \geq 2√(2b.\frac{2}{b}) = 2.2 =4$

   $→ P \geq 4 + 6 + 4 = 14$

   $Dấu$ $”=”$ $xảy$ $ra$ $⇒$ $\left \{ {a + b = 4} \atop {a = \frac{9}{a} \atop {2b = \frac{2}{b}}}\right.⇒\left \{ {{a = 3} \atop {b = 1}} \right. ⇒\left \{ {{x = 1} \atop {y = 0}} \right.$

   $Vậy$ $GTNN$ $của$ $P$ $là$ $14$ $tại$ $x = 1; y = 0$

   Trả lời

2. Đáp án:

   `min_P=14<=>x=1,y=0`

   Giải thích các bước giải:

   `P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1)`

   `=(2(\sqrt{x}+2)^2+9)/(\sqrt{x}+2)+(3(\sqrt{y}+1)^2+2)/(\sqrt{y}+1)`

   Đặt `a=\sqrt{x}+2,b=\sqrt{y}+1(a,b>0)`

   `=>P=(2a^2+9)/a+(3b^2+2)/b`

   `=2a+9/a+3b+2/b`

   `=a+b+a+9/a+2b+2/b`

   `=4+a+9/a+2b+2/b`

   BĐT AM-GM:

   `=>a+9/a>=6`

   `=>2b+2/b>=4`

   `=>P>=4+6+4=14`

   Dấu “=” xảy ra khi `a+b=4,a^2=9,b^2=1`

   `<=>a=3,b=1`

   `<=>x=1,y=0`

   Vậy `min_P=14<=>x=1,y=0`

   Trả lời