Toán cho x,y>0 và $x^2$+y=1 tính min của P P=$\sqrt{x^4+1/x^4}+\sqrt{y^2+1/y^2}$ kết quả ko phải $2\sqrt{2}$ 20/07/2021 By aihong cho x,y>0 và $x^2$+y=1 tính min của P P=$\sqrt{x^4+1/x^4}+\sqrt{y^2+1/y^2}$ kết quả ko phải $2\sqrt{2}$
ta có :`\sqrt(a^2+b^2)+\sqrt(x^2+y^2)≥\sqrt((a+x)^2+(b+y)^2)` `⇔a^2+b^2+x^2+y^2 +2\sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))≥(a+x)^2+(b+y)^2` `⇔2\sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))≥2(ax+by)` `⇔\sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))≥ax+by` Nếu `ax+by<0` `⇒ĐPCM` Nếu `ax+by>0` `⇒(a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2` `⇔(ax)^2+(bx)^2+(by)^2+(ay)^2≥(ax)^2+2abxy+(by)^2` `⇔((ay)^2+(bx)^2-2abxy)≥0` `⇔(ay-by)^2≥0`(Điều hiển nhiên ) `⇒\sqrt(a^2+b^2)+\sqrt(x^2+y^2)≥\sqrt((a+x)^2+(b+y)^2)` `P=\sqrt(x^4+1/(x^4))+\sqrt(1/(y^2)+y^2)` áp dụng vào `⇒P≥\sqrt((x^+y)^2+(1/(x^2)+1/y )^2)` `⇒P≥\sqrt((x^+y)^2+((4)/(x^2+y))^2)` `⇒P≥\sqrt(1+16)` `⇒P≥\sqrt(17)` `”=”`xẩy ra khi : `x=\sqrt(1/2);y=1/2` Trả lời
Đáp án: $ P\ge \sqrt{17}$ Giải thích các bước giải: Ta có: $P=\sqrt{x^4+\dfrac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}$ $\to P=\sqrt{\left(x^2\right)^2+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}$ $\to P\ge \sqrt{\left(x^2+y\right)^2+\left(\dfrac1{x^2}+\dfrac1y\right)^2}$ $\to P\ge \sqrt{\left(x^2+y\right)^2+\left(\dfrac{4}{x^2+y}\right)^2}$ $\to P\ge \sqrt{17}$ vì $x^2+y=1$ Dấu = xảy ra khi $x^2=y=\dfrac12$ $\to x=\sqrt{\dfrac12}, y=\dfrac12$ vì $x,y>0$ Trả lời