cho x,y>0 và $x^2$+y=1 tính min của P P=$\sqrt{x^4+1/x^4}+\sqrt{y^2+1/y^2}$ kết quả ko phải $2\sqrt{2}$

0 bình luận về “cho x,y>0 và $x^2$+y=1 tính min của P P=$\sqrt{x^4+1/x^4}+\sqrt{y^2+1/y^2}$ kết quả ko phải $2\sqrt{2}$”

1. ta có :
   `\sqrt(a^2+b^2)+\sqrt(x^2+y^2)≥\sqrt((a+x)^2+(b+y)^2)`

   `⇔a^2+b^2+x^2+y^2 +2\sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))≥(a+x)^2+(b+y)^2`

   `⇔2\sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))≥2(ax+by)`

   `⇔\sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))≥ax+by`

   Nếu `ax+by<0`

   `⇒ĐPCM`

   Nếu `ax+by>0`

   `⇒(a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2`

   `⇔(ax)^2+(bx)^2+(by)^2+(ay)^2≥(ax)^2+2abxy+(by)^2`

   `⇔((ay)^2+(bx)^2-2abxy)≥0`

   `⇔(ay-by)^2≥0`(Điều hiển nhiên )

   `⇒\sqrt(a^2+b^2)+\sqrt(x^2+y^2)≥\sqrt((a+x)^2+(b+y)^2)`

   `P=\sqrt(x^4+1/(x^4))+\sqrt(1/(y^2)+y^2)`

   áp dụng vào 

   `⇒P≥\sqrt((x^+y)^2+(1/(x^2)+1/y )^2)`

   `⇒P≥\sqrt((x^+y)^2+((4)/(x^2+y))^2)`

   `⇒P≥\sqrt(1+16)`

   `⇒P≥\sqrt(17)`

   `”=”`xẩy ra khi :

   `x=\sqrt(1/2);y=1/2`

   Bình luận

2. Đáp án: $ P\ge \sqrt{17}$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $P=\sqrt{x^4+\dfrac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}$

   $\to P=\sqrt{\left(x^2\right)^2+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}$

   $\to P\ge \sqrt{\left(x^2+y\right)^2+\left(\dfrac1{x^2}+\dfrac1y\right)^2}$

   $\to P\ge \sqrt{\left(x^2+y\right)^2+\left(\dfrac{4}{x^2+y}\right)^2}$

   $\to P\ge \sqrt{17}$ vì $x^2+y=1$

   Dấu = xảy ra khi $x^2=y=\dfrac12$

   $\to x=\sqrt{\dfrac12}, y=\dfrac12$ vì $x,y>0$

   Bình luận