Cho x,y >0 và x.y>=1 cmr 1/(1+x) + 1/(1+y) <= 2/(1+ √xy )

0 bình luận về “Cho x,y >0 và x.y>=1 cmr 1/(1+x) + 1/(1+y) <= 2/(1+ √xy )”

1. Giải thích các bước giải:

   \(
   \begin{array}{l}
    \frac{1}{{1 + x}} + \frac{1}{{1 + y}} \le \frac{2}{{1 + \sqrt {xy} }} (1)\\ 
     \Rightarrow \frac{1}{{1 + x}} – \frac{1}{{1 + \sqrt {xy} }} + \frac{1}{{1 + y}} – \frac{1}{{1 + \sqrt {xy} }} \le 0 \\ 
     \Leftrightarrow \frac{{1 + \sqrt {xy}  – (1 + x)}}{{(1 + x)(1 + \sqrt {xy} )}} + \frac{{1 + \sqrt {xy}  – (1 + y)}}{{(1 + y)(1 + \sqrt {xy} )}} \le 0 \\ 
     \Leftrightarrow \frac{{ – \sqrt x (\sqrt x  – \sqrt y )(1 + y) + \sqrt y (\sqrt x  – \sqrt y )(1 + x)}}{{(1 + x)(1 + y)(1 + \sqrt {xy} )}} \le 0 \\ 
     \Leftrightarrow (\sqrt x  – \sqrt y )( – \sqrt x  – y\sqrt x  + \sqrt y  + x\sqrt y ) \le 0 \\ 
    \end{array}
   \)

   \(
    \Leftrightarrow  – (\sqrt x  – \sqrt y )^2 (\sqrt {xy}  – 1) \le 0
   \)(luôn đúng)

   Vậy (1) đúng với mọi x;y>0

   Bình luận