cho x,y >0 và x.y=1.Tìm GTNN của M= x^2+y^2+3/(x+y+1)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $M \geq \frac{1}{2}(x+y)^2+\frac{3}{x+y+1}$

Đặt $t=x+y+1 \geq 2\sqrt{xy}+1=3$

$M\geq \frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{3}{t}=\frac{1}{2}t^2-t+\frac{1}{2}+\frac{3}{t}=\frac{1}{6}(t-3)^2+\frac{1}{3}t^2+\frac{3}{t}-1$

$M \geq \frac{1}{6}(t-3)^2+(\frac{1}{18}t^2+\frac{3}{2t}+\frac{3}{2t})+\frac{5}{18}t^2-1$

$M \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{18}t^2.\frac{3}{2t}\frac{3}{2t}}+\frac{5}{18}.3^2-1=3$

$M_{min}=3$ khi $t=3$ hay $x=y=1$

Hoặc cách khác đơn giản hơn:

$M=(x^2+1)+(y^2+1)+\frac{3}{x+y+1}-2$

$M \geq 2x +2y +\frac{3}{x+y+1}-2$

$M \geq \frac{x+y+1}{3}+\frac{3}{x+y+1}+\frac{5}{3}(x+y)-\frac{7}{3}$

$M \geq 2\sqrt{\frac{x+y+1}{3}.\frac{3}{x+y+1}}+\frac{5}{3}.2\sqrt{xy}-\frac{7}{3}=3$