Cho x,y>0, x+y=1 Tìm GTNN của M=(x²+1/y²)(y²+1/x²)

0 bình luận về “Cho x,y>0, x+y=1 Tìm GTNN của M=(x²+1/y²)(y²+1/x²)”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   \[\begin{array}{l}
   M = \left( {{x^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right)\left( {{y^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = {x^2}{y^2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}}\\
    = {x^2}{y^2} + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}} + 2
   \end{array}\]

   Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

   \[\begin{array}{l}
   1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} \\
    \Rightarrow \sqrt {xy}  \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\\
   M = {x^2}{y^2} + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}} + 2 = \left( {{x^2}{y^2} + \frac{1}{{256{x^2}{y^2}}}} \right) + \frac{{255}}{{256{x^2}{y^2}}} + 2\\
    \ge 2\sqrt {{x^2}{y^2}.\frac{1}{{256{x^2}{y^2}}}}  + \frac{{255}}{{256.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} + 2\\
    \ge 2.\frac{1}{{16}} + \frac{{255}}{{16}} + 2 = \frac{{289}}{{16}}
   \end{array}\]

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x=y=1/2

   Bình luận