Cho x ² + y ² = 1. Tìm GTLN và GTNN của $\sqrt[3]{xy+y^{2}}$

0 bình luận về “Cho x ² + y ² = 1. Tìm GTLN và GTNN của $\sqrt[3]{xy+y^{2}}$”

1. Đáp án:

   $ GTNN$ của $\sqrt[3]{xy + y²} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$

   $ GTLN$ của $\sqrt[3]{xy + y²} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$ 

   Giải thích các bước giải:
   Đặt $A = \sqrt[3]{xy + y²} ⇔ 2A³ = 2xy + 2y² $

   Áp dụng $BĐT$ Bunnhiacopsky:

   $ – \sqrt[]{2(a² + b²)} ≤ a + b ≤ \sqrt[]{2(a² + b²)}$

   Với $ a = 2xy; b = (y² – x²)$
   

   $ 2A³ – 1 = 2xy + 2y² – (y² + x²) = 2xy + (y² – x²)$
   $ ⇔ – \sqrt[]{2[4x²y² + (y² – x²)²]} ≤ 2A³ – 1 ≤ \sqrt[]{2[4x²y² + (y² – x²)²]}$

   $ ⇔ – \sqrt[]{2(y² + x²)²} ≤ 2A³ – 1 ≤ \sqrt[]{2(y² + x²)²}$
   $ ⇔ – \sqrt[]{2} ≤ 2A³ – 1 ≤ \sqrt[]{2}$
   $ ⇔ \frac{1}{2} – \frac{\sqrt[]{2}}{2} ≤ A³ ≤ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}$

   $ ⇔ \sqrt[3]{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt[]{2}}{2}} ≤ A ≤ \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$

   $ GTNN$ của $A = \sqrt[3]{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$

   Đạt được khi $ 2xy = y² – x² ⇒ 4x²y² = (y² – x²)² ⇔ 8x²y² = (x² + y²)² = 1$

   $⇔\left \{ {{x² + y² = 1} \atop {8x²y² = 1}} \right. ⇔\left \{ {{x² + y² = 1} \atop {2\sqrt[]{2}xy = – 1}} \right. ⇔ \left \{ {{x = \frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}{2}}} \atop {y = – \frac{\sqrt[]{2 – \sqrt[]{2}}}{2}} \right. $ hoặc $ \left \{ {{x = -\frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}{2}}} \atop {y = \frac{\sqrt[]{2 – \sqrt[]{2}}}{2}} \right. $
   

   $ GTLN$ của $A = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$
   

   Đạt được khi $ 2xy = y² – x² ⇒ 4x²y² = (y² – x²)² ⇔ 8x²y² = (x² + y²)² = 1$

   $⇔\left \{ {{x² + y² = 1} \atop {8x²y² = 1}} \right. ⇔\left \{ {{x² + y² = 1} \atop {2\sqrt[]{2}xy = 1}} \right.⇔ \left \{ {{x = \frac{\sqrt[]{2 – \sqrt[]{2}}}{2}}} \atop {y = \frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}{2}} \right. $ hoặc $ \left \{ {{x = -\frac{\sqrt[]{2 – \sqrt[]{2}}}{2}}} \atop {y = – \frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}{2}} \right. $
   

    

   Trả lời