Cho x,y > 1 Tìm GTNN P= x^2/ y-1 + y^2/ x-1

Đáp án: $GTNN$ của $P = 8$ khi $ x = y = 2$

Giải thích các bước giải:

Đặt $ a = x – 1 > 0; b = y – 1 > 0$

$ P = \dfrac{x²}{y – 1} + \dfrac{y²}{x – 1} = \dfrac{(a + 1)²}{b} + \dfrac{(b + 1)²}{a}$

$ = \dfrac{a² + 2a + 1}{b} + \dfrac{b² + 2b + 1}{a} $ 

$ = \dfrac{a²}{b} + \dfrac{b²}{a} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + 2(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a})  $ 

$ ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{a²}{b}.\dfrac{b²}{a}} + 2\sqrt[]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} + 2(2\sqrt[]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}})  $ 

$ = 2(\sqrt[]{ab} + \dfrac{1}{\sqrt[]{ab}}) + 4 ≥ 2(2\sqrt[]{\sqrt[]{ab}. \dfrac{1}{\sqrt[]{ab}}}) + 4 = 4 + 4 = 8$ 

Vậy $GTNN$ của $P = 8 ⇔ a = b ⇔ x = y = 2$