cho `x+y<=1` x,y dương tìm min của `x^2+y^2+1/(x^2)+1/(y^2)`

Đáp án: `S_{min}=\frac{17}{2}⇔x=y=\frac{1}{2}`

Giải thích các bước giải:

Ta có: $(x-y)^2≥0∀x;y$

$⇒x^2-2xy+y^2≥0∀x;y$

$⇒4xy≤x^2+2xy+y^2=(x+y)^2≤1^2=1$

$⇒xy≤\dfrac{1}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

`S=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}`

`≥2\sqrt{x^2.y^2}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}`

`=2xy+\frac{2}{xy}`

`=2xy+\frac{1}{8xy}+\frac{15}{8xy}`

$≥2\sqrt{2xy.\dfrac{1}{8xy}}+\dfrac{15}{8.\dfrac{1}{4}}$

`=2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{15}{2}`

`=1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}`

Dấu bằng xảy ra

$⇔\begin{cases}x=y\\x+y=1\\x^2=y^2\\\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{y^2}\\2xy=\dfrac{1}{8xy}\\xy=\dfrac{1}{4}\end{cases}⇔x=y=\dfrac{1}{2}$