Cho x,y,a,b là các số thực thỏa mãn
`x^4/a + y^4/b= (x^2+y^2)/(a+b)` và `x^+y^2=1`
Chứng minh:
`x^2006/a^1003 + y^2006/b^1003 = 2/(a+b)^1003`
Cho x,y,a,b là các số thực thỏa mãn
`x^4/a + y^4/b= (x^2+y^2)/(a+b)` và `x^+y^2=1`
Chứng minh:
`x^2006/a^1003 + y^2006/b^1003 = 2/(a+b)^1003`
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Từ giả thiết suy ra:
`x^4/a + y^4/b = (x^2+y^2)^2/(a+b)`
`<=> (bx^4 + ay^4)(a+b) = ab(x^2+y^2)^2`
`<=> b^2x^4 + a^2y^4 – 2abx^2y^2 =0`
`<=> bx^2 – ay^2=0`
`<=> x^2/a = y^2/b =(x^2+y^2)/(a+b) = 1/(a+b)`
`<=> x^2006/a^1003 = y^2006/b^1003 = 1/(a+b)^1003`
`<=> x^2006/a^1003 + y^2006/b^1003 = 2/(a+b)^1003 (đpcm)`
Sửa đề GT cho $x^2+y^2=1$
$x^2+y^2=1\Rightarrow (x^2+y^2)^2=1$
Thay vào giả thiết 1 ta được:
$\begin{array}{l} \dfrac{{{x^4}}}{a} + \dfrac{{{y^4}}}{b} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4}}}{a} + \dfrac{{{y^4}}}{b} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4}b + {y^4}a}}{{ab}} = \dfrac{{{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow \left( {{x^4}b + {y^4}a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right)ab\\ \Leftrightarrow {x^4}ab + {x^4}{b^2} + {y^4}{a^2} + {y^4}ab = {x^4}ab + 2{x^2}{y^2}ab + {y^4}ab\\ \Leftrightarrow {x^4}{b^2} + {y^4}{a^2} – 2{x^2}{y^2}ab = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2}b – {y^2}a} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}b = {y^2}a \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{a} = \dfrac{{{y^2}}}{b} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{a + b}} = \dfrac{1}{{a + b}}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{a}} \right)^{1003}} = {\left( {\dfrac{{{y^2}}}{b}} \right)^{1003}} = {\left( {\dfrac{1}{{a + b}}} \right)^{1003}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1003}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{x^{2006}}}}{{{a^{1003}}}} + \dfrac{{{y^{2006}}}}{{{b^{1003}}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1003}}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1003}}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1003}}}} \end{array}$