Cho x,y,a,b là các số thực thỏa mãn `x^4/a + y^4/b= (x^2+y^2)/(a+b)` và `x^+y^2=1` Chứng minh: `x^2006/a^1003 + y^2006/b^1003 = 2/(a+b)^1003`

Sửa đề GT cho $x^2+y^2=1$
$x^2+y^2=1\Rightarrow (x^2+y^2)^2=1$
Thay vào giả thiết 1 ta được:

$\begin{array}{l} \dfrac{{{x^4}}}{a} + \dfrac{{{y^4}}}{b} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{a + b}}\\  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4}}}{a} + \dfrac{{{y^4}}}{b} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{{a + b}}\\  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4}b + {y^4}a}}{{ab}} = \dfrac{{{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}}}{{a + b}}\\  \Leftrightarrow \left( {{x^4}b + {y^4}a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right)ab\\  \Leftrightarrow {x^4}ab + {x^4}{b^2} + {y^4}{a^2} + {y^4}ab = {x^4}ab + 2{x^2}{y^2}ab + {y^4}ab\\  \Leftrightarrow {x^4}{b^2} + {y^4}{a^2} – 2{x^2}{y^2}ab = 0\\  \Leftrightarrow {\left( {{x^2}b – {y^2}a} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}b = {y^2}a \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{a} = \dfrac{{{y^2}}}{b} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{a + b}} = \dfrac{1}{{a + b}}\\  \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{a}} \right)^{1003}} = {\left( {\dfrac{{{y^2}}}{b}} \right)^{1003}} = {\left( {\dfrac{1}{{a + b}}} \right)^{1003}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1003}}}}\\  \Rightarrow \dfrac{{{x^{2006}}}}{{{a^{1003}}}} + \dfrac{{{y^{2006}}}}{{{b^{1003}}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1003}}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1003}}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1003}}}} \end{array}$