Cho x, y, b, d ∈ N*. Chứng minh nếu $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ thì $\frac{a}{b}$ < $\frac{xa+yc}{xb+yd}$ < $\frac{c}{d}$

0 bình luận về “Cho x, y, b, d ∈ N*. Chứng minh nếu $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ thì $\frac{a}{b}$ < $\frac{xa+yc}{xb+yd}$ < $\frac{c}{d}$”

1. Ta có :

   `a/b < c/d`

   `⇒ ad < bc`

   `⇒ ady < bcy`

   `⇒ ady + abx < bcy + abx`

   `⇒ a(bx+dy) < b(ax+cy)`

   $⇒ \dfrac{a}{b} < \dfrac{xa+yc}{xb+yd}$ $(*)$

   Lại có :

   `a/b < c/d`

   `⇒ ad < bc`

   `⇒ adx < bcx`

   `⇒ adx + cdy < bcx + cdy`

   `⇒ d(ax+cy) < c(bx+dy)`

   $⇒ \dfrac{xa+yc}{xb+yd} < \dfrac{c}{d}$ $(**)$

   Từ $(*),(**)$

   `⇒ a/b < [xa+yc]/[xb+yd] < c/d`

   `⇒ ĐPCM`

   Xin hay nhất !

   Bình luận