Cho x, y, b, d ∈ N*. Chứng minh nếu $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ thì $\frac{a}{b}$ < $\frac{xa+yc}{xb+yd}$ < $\frac{c}{d}$

Ta có :

`a/b < c/d`

`⇒ ad < bc`

`⇒ ady < bcy`

`⇒ ady + abx < bcy + abx`

`⇒ a(bx+dy) < b(ax+cy)`

$⇒ \dfrac{a}{b} < \dfrac{xa+yc}{xb+yd}$ $(*)$

Lại có :

`a/b < c/d`

`⇒ ad < bc`

`⇒ adx < bcx`

`⇒ adx + cdy < bcx + cdy`

`⇒ d(ax+cy) < c(bx+dy)`

$⇒ \dfrac{xa+yc}{xb+yd} < \dfrac{c}{d}$ $(**)$

Từ $(*),(**)$

`⇒ a/b < [xa+yc]/[xb+yd] < c/d`

`⇒ ĐPCM`

Xin hay nhất !