Cho x+y $\geq$ 3 Chứng minh 2x+3y+ $\frac{1}{x}$ + $\frac{8}{y}$ $\geq$ 13

0 bình luận về “Cho x+y $\geq$ 3 Chứng minh 2x+3y+ $\frac{1}{x}$ + $\frac{8}{y}$ $\geq$ 13”

1. Giải thích các bước giải:

    Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

   \(\begin{array}{l}
   x + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{1}{x}}  = 2\sqrt 1  = 2\\
   2y + \dfrac{8}{y} \ge 2.\sqrt {2y.\dfrac{8}{y}}  = 2\sqrt {16}  = 8\\
   x + y \ge 3\\
    \Rightarrow \left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {2y + \dfrac{8}{y}} \right) + \left( {x + y} \right) \ge 2 + 8 + 3\\
    \Leftrightarrow 2x + 3y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{8}{y} \ge 13
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi:

   \(\left\{ \begin{array}{l}
   x = \dfrac{1}{x}\\
   2y = \dfrac{8}{y}\\
   x + y = 3
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x = 1\\
   y = 2
   \end{array} \right.\)

   Vậy \(2x + 3y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{8}{y} \ge 13\)

   Bình luận