Cho ​​x,y khác 0. Chứng minh rằng x^4 +y^4 ≤ x^6/y^2 +y^6/x^2

0 bình luận về “Cho ​​x,y khác 0. Chứng minh rằng x^4 +y^4 ≤ x^6/y^2 +y^6/x^2”

1. Thực hiện BĐTĐ , ta có : 

   x^8 + y^8/x^2y^2 $\geq$ x^4 + y^4 <=> x^8 + y^8 $\geq$ x^6y^2 + y^6x^2 <=> x^6(x^2-y^2) – y^6(x^2-y^2) $\geq$ 0 <=> (x^6-y^6)(x^2-y^2) $\geq$ 0 <=> (x^2-y^2)^2 . (x^4 + x^2y^2 + y^4) $\geq$ 0 ( điều này luôn đúng với mọi x;y $\neq$ 0 ) ( đpcm )

   Trả lời

2. Giải thích các bước giải:

    Do $x,y$ khác $0$ nên $\dfrac{x^6}{y^2} , \dfrac{y^6}{x^2}, x^2y^2 $ đều dương.

   Áp dụng BĐT AM – GM ta có :

   $\dfrac{x^6}{y^2} + x^2y^2 ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{x^6}{y^2}.x^2y^2} = 2x^4$

   $\dfrac{y^6}{x^2} + x^2y^2 ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{y^6}{x^2}.x^2y^2} = 2y^4$

   $⇒\dfrac{x^6}{y^2} + \dfrac{y^6}{x^2} +2x^2y^2 ≥ 2x^4+2y^4$

   $⇔ \dfrac{x^6}{y^2} + \dfrac{y^6}{x^2} ≥ (x^4+y^4)+(x^4+y^4-2x^2y^2)$

   $ ⇔\dfrac{x^6}{y^2} + \dfrac{y^6}{x^2} ≥ (x^4+y^4)+(x^2-y^2)^2 ≥ x^4+y^4$

   Dấu “=” xảy ra $⇔x=±y$

   Trả lời