cho x,y là 2 số dương, chứng minh rằng x^2/y + y^2/x >= x+y 30/09/2021 Bởi Elliana cho x,y là 2 số dương, chứng minh rằng x^2/y + y^2/x >= x+y
Đáp án: Giải thích các bước giải: `x^2/y + y^2/x >= x+y` Ta có $\begin{cases}x>0\\y>0\end{cases}$ Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có : `x^2/y+y^2/x>=(x+y)^2/(x+y)=x+y` `=>x^2/y + y^2/x >= x+y(dpcm)` Bình luận
Giải thích các bước giải: Do $x,y>0$ nên ta : Cách 1 : Sử dụng BĐT Svacxo ta được : $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} ≥ \dfrac{(x+y)^2}{x+y} = x+y$ Dấu “=” xảy ra $⇔x=y$ Cách 2 : Sử dụng BĐT AM – GM : Theo BĐT AM-GM ta có : $\dfrac{x^2}{y} + y ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{x^2}{y}.y} = 2x$ $\dfrac{y^2}{x}+x ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{y^2}{x}.x}=2y$ $\to \dfrac{x^2}{y}+y+\dfrac{y^2}{x} + x≥ 2.(x+y)$ $\to \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} ≥ x+y$ Dấu “=” xảy ra $⇔x=y$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`x^2/y + y^2/x >= x+y`
Ta có
$\begin{cases}x>0\\y>0\end{cases}$
Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có :
`x^2/y+y^2/x>=(x+y)^2/(x+y)=x+y`
`=>x^2/y + y^2/x >= x+y(dpcm)`
Giải thích các bước giải:
Do $x,y>0$ nên ta :
Cách 1 : Sử dụng BĐT Svacxo ta được :
$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} ≥ \dfrac{(x+y)^2}{x+y} = x+y$
Dấu “=” xảy ra $⇔x=y$
Cách 2 : Sử dụng BĐT AM – GM :
Theo BĐT AM-GM ta có :
$\dfrac{x^2}{y} + y ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{x^2}{y}.y} = 2x$
$\dfrac{y^2}{x}+x ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{y^2}{x}.x}=2y$
$\to \dfrac{x^2}{y}+y+\dfrac{y^2}{x} + x≥ 2.(x+y)$
$\to \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} ≥ x+y$
Dấu “=” xảy ra $⇔x=y$