Cho x,y là các số dương thỏa mãn x + y = 2. CMR: $x^{3}$$y^{3}$ ( $x^{3}$ + $y^{3}$ ) $\leq$ 2 27/11/2021 Bởi Hailey Cho x,y là các số dương thỏa mãn x + y = 2. CMR: $x^{3}$$y^{3}$ ( $x^{3}$ + $y^{3}$ ) $\leq$ 2
Ta có : $x^3y^3.(x^3+y^3) ≤ 2$ $⇔ x^3y^3.(x+y).(x^2+y^2-xy) ≤ 2$ $⇔x^3y^3.(x^2-xy+y^2) ≤ 0 $ BĐT trên sai vì với $a,b>0$ thì $x^3y^3>0$ Và $x^2-xy+y^2 = (x-\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3y^2}{4} > 0 $ Vậy BĐT đã cho sai. Bình luận
Đáp án: Áp dụng BĐT Am-Gm ta có: \(\left[xy\left(x+y\right)\right]\left[xy\left(x+y\right)\right]\left[xy\left(x+y\right)\right]\left(x^3+y^3\right)\le\left[\dfrac{3xy\left(x+y\right)+x^3+y^3}{4}\right]^4\)( dạng \(abcd\le\left(\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^4\)) \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3.x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\dfrac{\left(x+y\right)^{12}}{4^4}\) \(\Leftrightarrow x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\dfrac{\left(x+y\right)^9}{4^4}=\dfrac{2^9}{2^8}=2\) Dấu = xảy ra khi x=y=1 Giải thích các bước giải: Bình luận
Ta có :
$x^3y^3.(x^3+y^3) ≤ 2$
$⇔ x^3y^3.(x+y).(x^2+y^2-xy) ≤ 2$
$⇔x^3y^3.(x^2-xy+y^2) ≤ 0 $
BĐT trên sai vì với $a,b>0$ thì $x^3y^3>0$
Và $x^2-xy+y^2 = (x-\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3y^2}{4} > 0 $
Vậy BĐT đã cho sai.
Đáp án:
Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
\(\left[xy\left(x+y\right)\right]\left[xy\left(x+y\right)\right]\left[xy\left(x+y\right)\right]\left(x^3+y^3\right)\le\left[\dfrac{3xy\left(x+y\right)+x^3+y^3}{4}\right]^4\)( dạng \(abcd\le\left(\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^4\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3.x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\dfrac{\left(x+y\right)^{12}}{4^4}\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\dfrac{\left(x+y\right)^9}{4^4}=\dfrac{2^9}{2^8}=2\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1
Giải thích các bước giải: