Cho x,y là các số dương thỏa mãn x + y = 2. CMR: $x^{3}$$y^{3}$ ( $x^{3}$ + $y^{3}$ ) $\leq$ 2

0 bình luận về “Cho x,y là các số dương thỏa mãn x + y = 2. CMR: $x^{3}$$y^{3}$ ( $x^{3}$ + $y^{3}$ ) $\leq$ 2”

1. Ta có :

   $x^3y^3.(x^3+y^3) ≤ 2$

   $⇔ x^3y^3.(x+y).(x^2+y^2-xy) ≤ 2$

   $⇔x^3y^3.(x^2-xy+y^2) ≤ 0 $

   BĐT trên sai vì với $a,b>0$ thì $x^3y^3>0$

   Và $x^2-xy+y^2 = (x-\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3y^2}{4} > 0 $

   Vậy BĐT đã cho sai.

    

   Trả lời

2. Đáp án:

   Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:

   \(\left[xy\left(x+y\right)\right]\left[xy\left(x+y\right)\right]\left[xy\left(x+y\right)\right]\left(x^3+y^3\right)\le\left[\dfrac{3xy\left(x+y\right)+x^3+y^3}{4}\right]^4\)( dạng \(abcd\le\left(\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^4\))

   \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3.x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\dfrac{\left(x+y\right)^{12}}{4^4}\)

   \(\Leftrightarrow x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\dfrac{\left(x+y\right)^9}{4^4}=\dfrac{2^9}{2^8}=2\)

   Dấu = xảy ra khi x=y=1

   Giải thích các bước giải:

    

   Trả lời